Problema 3 · Multiplicar xifres fins al zero
Per acabar en zero cal passar per un múltiple de 10 o tenir un 0.
Resposta entera de 4 xifres com a màximTriem un nombre de dues xifres i les multipliquem entre elles. Si el resultat és un nombre de dues xifres, en tornem a multiplicar les xifres, i repetim el procés fins que obtenim un nombre d'una xifra. Amb quants nombres diferents podem començar si volem acabar en un zero?
Solució raonada
Idea clau: el resultat final és $0$ exactament quan en algun pas apareix una xifra $0$, és a dir, quan arribem a un múltiple de $10$.
Hi arriben directament els $9$ múltiples de $10$ (de $10$ a $90$: producte $0$ d'immediat). Després, resseguint cap enrere quins productes cauen en un múltiple de $10$:
$25, 52, 55 \to 10$; $45, 54, 59, 69, 96 \to 20$ (via $45 \to 20$ i $54 \to 20$); $56, 65, 78, 87 \to 30$; $58, 85 \to 40$; $95 \to 45 \to 20$.
En total: $9$ múltiples de $10$ i $15$ nombres més ($25, 45, 52, 54, 55, 56, 58, 59, 65, 69, 78, 85, 87, 95, 96$).