Problema 7 · Unos y ceros divisibles por 792
$792 = 8 \cdot 9 \cdot 11$: tres criterios de divisibilidad a la vez.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿Cuántas cifras tiene el número más pequeño que se puede formar con unos y ceros y que es divisible por 792?
Solución razonada
Idea clave: $792 = 8 \cdot 9 \cdot 11$, y las tres condiciones se traducen sobre las cifras.
Divisible por $8$: las tres últimas cifras deben formar un múltiplo de $8$ hecho de unos y ceros: solo $000$. Divisible por $9$: la suma de cifras (el número de unos) debe ser múltiplo de $9$. Divisible por $11$: (unos en posición impar) $-$ (unos en posición par) $\equiv 0 \pmod{11}$; como esa diferencia tiene la misma paridad que el total de unos, con $9$ unos es imposible ($9$ es impar y la diferencia debería ser $0$ o $\pm 11$). Hacen falta, pues, $18$ unos.
Con $18$ unos seguidos y $000$ al final todo se cumple ($9$ unos en cada paridad):