Questions
Each card opens the corresponding statement.
La torre de 84 esferes
Amb 84 esferes idèntiques fem una torre en forma de tetraedre regular, similar al de la imatge però amb més esferes, deixant el mínim espai possible entre elles. Quants punts de tangència hi ha entre totes les esferes?
El passeig en espiral
En un pla hi tenim uns eixos de coordenades orientats de la manera habitual. Ens situem al punt $(0,0)$ i ens movem seguint un patró: deu unitats a la dreta, deu unitats amunt, nou unitats a l'esquerra i nou unitats cap avall. Anem repet…
Potències perfectes fins a 2025
Quants nombres naturals entre $1$ i $2025$ es poden escriure de la forma $a^b$ amb $a$ i $b$ nombres naturals més grans (no iguals) que $1$?
Descomptes creixents
En una botiga fan una promoció per un article que té un preu inicial fixat. Si en comprem una unitat, ens la venen amb un 1% de descompte. Si en comprem dues, la primera té un 1% de descompte i la segona un 2% (sobre el preu inicial). Si…
Les rodes del monopatí
Ens han regalat un monopatí de quatre rodes. Les quatre rodes són iguals, però es desgasten de manera diferent segons si van al davant o al darrere. Les rodes del davant s'han de canviar cada 300 km, i les del darrere, cada 500 km. Volem…
Fusions de personatges
En un videojoc hi ha 95 personatges vermells i 19 personatges blaus. Aquests personatges es poden fusionar entre ells de la manera següent: Si es fusionen dos personatges vermells, es transformen en un de blau.; Si es fusionen dos person…
Uns i zeros divisibles per 792
Quantes xifres té el nombre més petit que es pot formar amb uns i zeros i que és divisible per 792?
Sis nombres gairebé encadenats
Volem triar sis nombres enters i positius de manera que en qualsevol parella de nombres d'aquest conjunt sempre un d'ells és divisor de l'altre, excepte en el cas d'una única parella en què cap dels dos nombres és divisible per l'altre.…
Els pares de tres xifres
Cada nombre natural $n$ té un nombre «pare», que és el nombre natural més petit tal que les seves xifres sumen $n$. Per exemple, el «pare» de $30$ és $3999$, perquè $3999$ és el nombre més petit amb xifres que sumen $30$. Si sumem tots e…
Polinomis amb p(1) = 1
Prenem tots els polinomis $p(x)$ de grau $5$ en què tots els coeficients són $1$, $-1$ o $0$. Quants d'aquests polinomis compleixen que $p(1) = 1$?
El quadrat partit en tres
Un quadrat s'ha dividit en tres regions de la mateixa àrea, dos triangles rectangles i un paral·lelogram, de manera que els segments $AB$ i $CD$ són paral·lels i la distància entre els dos segments és d'$1$ cm, tal com es veu a la imatge…
Suma, producte i suma de quadrats
Si $x + y = 15$ i $xy = 19$, quant val $x^2 + y^2$?
El semicercle dels tres segments
Al semicercle d'aquesta figura hi hem traçat uns segments. Si $\overline{AB} = 7$ cm, $\overline{CD} = 6$ cm i $\overline{DE} = 5$ cm, quant val l'àrea del semicercle? La solució és un múltiple de $\pi$: doneu com a resposta aquest nombr…
Dos triangles dins del quadrat
A la figura hi podeu veure un quadrat i dos triangles ombrejats al seu interior. Quina és la diferència d'àrea entre els dos triangles ombrejats?