L'Anell de Collatz
Àlex Reyes · juny 2026
El 1937, mentre J. R. R. Tolkien acabava El Hòbbit a Oxford, un matemàtic alemany anomenat Lothar Collatz escrivia en un quadern —se suposa— una pregunta d'aparença quasi ridícula.
Pren qualsevol nombre enter positiu. Si és parell, divideix-lo per dos. Si és senar, multiplica'l per tres i suma-hi u. Repeteix.
Arribaràs sempre a l'u?
Gairebé noranta anys després, ningú no ho sap. Tolkien va publicar el seu llibre aquella tardor. Collatz va guardar la pregunta.
Jo vaig trigar gairebé quaranta anys a trobar-la, i hi vaig arribar de la manera menys heroica que es pugui imaginar: veient un podcast. Eduardo Sáenz de Cabezón, en una conversa amb Jordi Wild, va explicar el problema amb la claredat de qui el porta massa temps al damunt, i va advertir, de passada, que ja no llegia les solucions que li enviaven per correu. Que la gent s'obsessionava.
Em vaig obsessionar.
No hi va haver cap senyal, cap mag trucant a la porta. Només un professor de secundària amb quinze anys de pissarres a l'esquena, davant d'una pantalla a les onze de la nit. Però la conjectura de Collatz és d'aquelles coses que, un cop dins, no marxen. Com si portés des del 1937 esperant l'hobbit que no tocava.
Hi ha una cosa que Tolkien va entendre de les càrregues impossibles i que pocs matemàtics s'atreveixen a escriure: al final, et deixen sol.
Trobar qui vulgui dirigir una tesi sobre la conjectura de Collatz és, en si mateix, una odissea. El problema té mala reputació; no entre el públic, que el troba fascinant, sinó entre els matemàtics, que és qui millor en sap. I no sense raó: durant dècades han aterrat massa demostracions que es desfan al primer cop de vista, massa certeses que eren errors de bulto. Sáenz de Cabezón no llegeix aquests correus. Hi ha revistes que amb la paraula Collatz a l'assumpte ja creuen saber com acabarà la història.
Presentar-se com a desconegut amb un resultat nou sobre Collatz és una mica com arribar a Rivendell sense ser ni elfe, ni rei, ni mag. Amb la pregunta a les mans i la sospita, encara tènue, que has vist alguna cosa que val la pena examinar.
La Germandat de l'Anell es trenca. Sempre passa. Cadascú acompanya fins on pot, i hi ha trams que es fan a soles. El moment d'entrar a Mordor, però, és sempre d'u.
Gandalf, tanmateix, existeix.
Quan vaig escriure al Dr. Jaume Franch, portava nou mesos investigant Collatz pel meu compte i volia explicar-li dues coses: el que havia trobat, i que volia fer el doctorat. Em va dir el que s'esperava —que li semblava genial, que m'animava, que no era la seva especialitat— i llavors va fer el que no s'esperava: es va posar a buscar-me codirector. Ho vam intentar tres vegades. Ningú no estava interessat, o ningú no se sentia en condicions de declarar-se especialista en la matèria. Amb Collatz era d'esperar: no hi ha especialistes; com a molt, n'hi ha que han sobreviscut.
Vam decidir tirar endavant els dos: Jaume de director, amb la porta oberta a un codirector que potser vindrà algun dia. A ell li pesava dirigir una tesi tan lluny del seu terreny. Jo ho vaig viure com la millor notícia possible: un qui s'implica de debò en un problema aliè em convenç molt més que un expert que no vol ni mirar el mapa.
Tampoc Gandalf era especialista en l'Anell. Era, simplement, l'únic que estava disposat a estudiar els arxius, fer les preguntes i posar-se a caminar. Això és Gandalf en aquesta història: no el qui resol el problema —aquest no existeix—, sinó el qui et diu que el camí hi és, encara que no pugui anar-hi amb tu fins al final.
Però, què és l'Anell?
L'Anell Únic no és poderós perquè destrueixi: ho és perquè organitza. Sota el caos de la superfície hi imposa un ordre invisible, i tots els portadors, tots els viatges, tots els regnes acaben gravitant al voltant del mateix centre, vulguin o no.
La conjectura de Collatz té exactament aquesta qualitat. El que pertorba no és la regla, que és elemental. El que pertorba és que una regla tan simple sembli exercir una atracció sobre tots els nombres, des de qualsevol punt de partida, cap al mateix lloc. Sense cap raó visible. Com si hi hagués alguna cosa a sota que encara no sabem dir com es diu.
Bilbo ho sabia, tot i que parlés d'una altra cosa:
És perillós, Frodo, creuar la teva porta. Poses el peu al camí, i si no vigiles on trepitges, mai no saps on et podrien dur.
Això és Collatz. Cada nombre és una porta; cada iteració, un pas. Mirant el punt de partida no hi ha manera de preveure la durada del viatge ni el recorregut. El 26 arriba a casa en deu passes. El 27, que és el seu veí, puja fins a 9.232 abans de començar a baixar i triga cent onze passes a fer-ho. El camí no es discuteix. Només es fa.
A Tolkien li encantaven els mapes. Tots els seus llibres en duen: muntanyes dibuixades a mà, rutes traçades abans que hi hagués una sola línia de text. El mapa no il·lustrava el món; el mapa era el món, i la història naixia de recórrer-lo.
La dinàmica de Collatz també té un mapa, i el meu el formen sis regions: sis territoris entre els quals els nombres circulen empesos sempre per la mateixa regla. Alguns semblen erms de pas: la trajectòria els creua i els abandona. D'altres agafen, fan donar voltes, obliguen a rodejades llargues abans de deixar anar.
Les terres dels múltiples de tres són territoris peculiars. Tenen quelcom de lloc de sortida, de frontera, de porta que empeny cap enfora. Són, en certa manera, els Ports Grisos d'aquest mapa: territoris que no expliquen el retorn, sinó la marxa.
I hi ha una regió que fa de Mordor: els nombres que donen resta 4 quan es divideixen per sis. No perquè sigui tenebrosa, sinó perquè tot apunta a la mateixa conclusió: no es pot cloure el viatge sense travessar-la. Igual que cap portador no pot destruir l'Anell sense entrar a Mordor, cap trajectòria positiva no trivial hauria de poder esquivar indefinidament aquesta regió, si la conjectura és certa. Demostrar-ho és acostar-se al cor del problema.
Al final de tot, si Collatz té raó, queden dos territoris. Només dos: l'1 i el 2, alternant entre ells per sempre. Allà és la Comarca: no el punt de partida, sinó el de retorn. El lloc al qual es torna quan l'Anell ja no existeix.
Frodo torna a la Comarca. Això és el que promet la història de Tolkien: que el camí, per llarg que sigui, té retorn. Però Tolkien mostra també el que els finals feliços amaguen: qui torna ja no és el mateix que havia sortit. La Comarca continua igual; l'hobbit, no.
Jo no he tornat encara.
Però hi ha una cosa que sé ara que no sabia quan vaig començar: la conjectura de Collatz no és del tipus de problemes que es resolen una tarda. És del tipus de camins que et trien a tu, sense preguntar si estàs preparat, sense garantir que hi arribaràs. Amb l'única certesa, estranya i obstinada, que val la pena seguir posant un peu davant de l'altre.
Bilbo tenia raó.
És perillós creuar la porta.
Però ja l'he creuada.