Exercici 1 · Funció a trossos — continuïtat, àrea i recta tangent

Continuïtat d'una funció definida a trossos, càlcul d'una àrea amb integrals i recta tangent amb pendent donat.

Puntuació màxima · 2,5 punts

Considereu la funció definida a trossos $$f(x)=\begin{cases} 5e^{2x} & x\le 0 \\ (x+m)^2+1 & 0

Determineu els valors de $m$ que fan que la funció $f(x)$ sigui contínua en tot el seu domini. Justifiqueu la resposta. 1 p
Feu un esbós de la gràfica de $y=f(x)$ per al cas $m=-2$, i calculeu l'àrea delimitada per aquesta gràfica, l'eix $OX$ i les rectes $x=-1$ i $x=3$. 1 p
Per a $m=-2$, trobeu un punt on la recta tangent a $y=f(x)$ sigui paral·lela a $y=-2x$. Calculeu l'equació d'aquesta recta tangent. 0,5 p

Batxillerat Científic · Bloc D — Anàlisi Continuïtat Integral definida Recta tangent

Correcció pas a pas

Idea clau: una funció a trossos és contínua en un punt d'enllaç si els dos límits laterals coincideixen amb el valor de la funció. Cada empalmament dóna una condició sobre $m$; cal que es compleixin totes alhora.

a) Valors de $m$ que fan $f$ contínua

Dins de cada tros la funció és contínua (exponencial, polinomi i constant). Només cal estudiar els dos punts d'enllaç, $x=0$ i $x=2$.

A $x=0$: el límit per l'esquerra és $5e^{0}=5$ i el límit per la dreta és $(0+m)^2+1=m^2+1$. Imposem la igualtat:

m^2+1=5 \;\Longrightarrow\; m^2=4 \;\Longrightarrow\; m=-2 \;\text{ o }\; m=2.

A $x=2$: el límit per l'esquerra és $(2+m)^2+1$ i el valor (i límit per la dreta) és $1$. Imposem la igualtat:

(2+m)^2+1=1 \;\Longrightarrow\; (2+m)^2=0 \;\Longrightarrow\; m=-2.

Les dues condicions s'han de complir a la vegada. El valor $m=2$ supera la primera però falla a $x=2$; l'únic valor comú és $m=-2$.

$f$ és contínua a tot el seu domini només si $m=-2$.

b) Esbós i àrea per a $m=-2$

Amb $m=-2$ el tros central és $(x-2)^2+1$. La gràfica: una exponencial creixent fins a $(0,5)$, una paràbola que baixa de $(0,5)$ fins al vèrtex $(2,1)$ i, a partir d'aquí, la recta constant $y=1$. Com que $f(x)>0$ a tot arreu, l'àrea és directament la integral de $f$ entre $x=-1$ i $x=3$:

Descomponem la integral en els tres trams:

\text{Àrea}=\int_{-1}^{0} 5e^{2x}\,dx+\int_{0}^{2}\big((x-2)^2+1\big)\,dx+\int_{2}^{3} 1\,dx.

Primer tram:

\int_{-1}^{0} 5e^{2x}\,dx=\Big[\tfrac{5}{2}e^{2x}\Big]_{-1}^{0}=\tfrac{5}{2}\big(1-e^{-2}\big)=\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{2}e^{-2}.

Segon tram (amb el canvi $u=x-2$):

\int_{0}^{2}\big((x-2)^2+1\big)\,dx=\Big[\tfrac{(x-2)^3}{3}+x\Big]_{0}^{2}=\Big(0+2\Big)-\Big(-\tfrac{8}{3}+0\Big)=2+\tfrac{8}{3}=\tfrac{14}{3}.

Tercer tram: $\int_{2}^{3}1\,dx=1$. Sumem:

\text{Àrea}=\Big(\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{2}e^{-2}\Big)+\tfrac{14}{3}+1=\frac{49}{6}-\frac{5}{2}e^{-2}\approx 7{,}83\ \text{u}^2.

Àrea $=\dfrac{49}{6}-\dfrac{5}{2}e^{-2}\approx 7{,}83$ unitats quadrades.

c) Recta tangent paral·lela a $y=-2x$

«Paral·lela a $y=-2x$» vol dir pendent $-2$, és a dir, busquem un punt on $f'(x)=-2$. Derivem tros a tros (amb $m=-2$):

f'(x)=\begin{cases} 10e^{2x} & x<0 \\ 2(x-2) & 02 \end{cases}

El tram exponencial dóna $10e^{2x}>0$ sempre (mai $-2$) i el constant dóna $0$. Només queda el tram central:

2(x-2)=-2 \;\Longrightarrow\; x-2=-1 \;\Longrightarrow\; x=1\in(0,2).\ \checkmark

El punt de tangència és $\big(1,f(1)\big)$ amb $f(1)=(1-2)^2+1=2$. La recta de pendent $-2$ que hi passa:

y-2=-2(x-1)\;\Longrightarrow\; y=-2x+4.

Punt $(1,2)$; recta tangent $y=-2x+4$.