Exercici 1 · Funcions i derivades — Seguidors a les xarxes socials

Lectura de valors, intervals de monotonia, extrems locals i esbós d'una cúbica en un interval tancat.

Puntuació màxima · 2,5 punts

Un metge comença a fer divulgació sobre salut a les xarxes socials. A mesura que publica continguts relacionats amb aquest tema, observa un augment en el seu nombre de seguidors. En un moment determinat grava un vídeo polèmic i perd un petit nombre de seguidors, però al cap d'uns dies en publica un altre que té molt èxit i, a partir de llavors, el seu nombre de seguidors torna a créixer. La funció que descriu el seu nombre de seguidors en funció del temps $t$, mesurat en setmanes, és $f(t) = 10t^{3} - 120t^{2} + 450t + 700$, amb $t \in [0, 10]$.

Quants seguidors té al principi? Quants en té al cap de 10 setmanes? Estudieu els intervals de creixement i decreixement de la funció i determineu-ne els extrems locals. Feu un esbós de la gràfica utilitzant la informació obtinguda. 1,5 p
En quina setmana penja el vídeo polèmic i quants seguidors té en aquell moment? En quina setmana penja el vídeo que té molt èxit? Al llarg de les 10 setmanes, en quin moment té més seguidors? 1 p

Batxillerat CCSS · Bloc D — Sentit algebraic Derivades Monotonia i extrems Esbós de gràfiques

Correcció pas a pas

Idea clau: la monotonia de $f$ ve donada pel signe de $f'$; els extrems locals són els zeros de $f'$ on hi ha canvi de signe. En un interval tancat, el màxim absolut pot ser un extrem local o un extrem de l'interval: cal comparar valors.

a) Valors inicials i finals, monotonia i extrems

Seguidors al principi i al cap de 10 setmanes:

f(0) = 700, \qquad f(10) = 10(1000) - 120(100) + 450(10) + 700 = 10000 - 12000 + 4500 + 700 = 3200.

Derivem i factoritzem:

f'(t) = 30t^{2} - 240t + 450 = 30\,(t^{2} - 8t + 15) = 30\,(t-3)(t-5).

Els zeros de $f'$ són $t = 3$ i $t = 5$. Estudiem el signe de $f'$ sobre $[0, 10]$:

f' > 0 \text{ a } [0, 3), \qquad f' < 0 \text{ a } (3, 5), \qquad f' > 0 \text{ a } (5, 10].

Per tant $f$ és creixent a $[0,3) \cup (5,10]$ i decreixent a $(3,5)$.

Extrems locals: a $t=3$ hi ha un màxim local amb $f(3) = 270 - 1080 + 1350 + 700 = 1240$; a $t=5$ hi ha un mínim local amb $f(5) = 1250 - 3000 + 2250 + 700 = 1200$.

Esbós amb els punts clau $(0,700)$, $(3,1240)$, $(5,1200)$ i $(10,3200)$:

$f(0)=700$ i $f(10)=3200$ seguidors. Creixent a $[0,3)\cup(5,10]$, decreixent a $(3,5)$; màxim local $(3, 1240)$ i mínim local $(5, 1200)$.

b) Interpretació dels extrems

El vídeo polèmic el penja quan comença a perdre seguidors, és a dir, al màxim local: setmana 3, amb $f(3) = 1240$ seguidors.

El vídeo amb molt èxit el penja quan el nombre de seguidors torna a créixer, és a dir, al mínim local: setmana 5.

Per trobar el moment amb més seguidors comparem el màxim local amb els extrems de l'interval:

f(3) = 1240 \quad \text{vs.} \quad f(10) = 3200.

Vídeo polèmic: setmana 3, amb 1240 seguidors. Vídeo d'èxit: setmana 5. El màxim de seguidors s'assoleix al final, a la setmana 10, amb 3200 seguidors.