Repte 1: el mural de l'Àgora · Reptes matemàtics

L'enunciat

Avui el meu equip de treball ens ha sorgit un repte nou que ens fa molta il·lusió: l'associació del casal del barri ens ha demanat si podem fer un mural a la paret del nou centre de dia per a avis. L'encarregada ens ha fet arribar el disseny del mural i ens ha demanat que li diguem la quantitat de pintura de cada tipus que necessitem. No hi ha un pressupost massa elevat, per això ens demana la màxima exactitud.

La veritat és que necessitem ajuda.

Toca un color o un número vermell per veure quina peça o quina aresta és.

El disseny que ens ha passat l'encarregada. Els números en vermell són les arestes de la pregunta 1.

Notes

L'escala que han pensat és que $1$ cm del dibuix correspon a $75$ cm de la mida real.
La paret real fa $6$ m de llargària per $5$ m d'alçada.
El dibuix ha de quedar completament centrat.
Cada pot de pintura en esprai conté $200$ ml de pintura i serveix per pintar uns $1{,}5\ \text{m}^2$. Cada pot lila val $4{,}58$ €, cada pot rosa val $4{,}00$ €, cada pot blau cel val $4{,}25$ € i cada pot blau fosc val $4{,}40$ €.
Les lletres no cal comptabilitzar-les: tenim pintura negra.

Indicacions. Volem fer els càlculs matemàtics complets, usant les operacions combinades i aritmètiques adequades. Si surten decimals, els arrodonim a dues xifres decimals. És important que s'entengui el que estem fent.

Quins conceptes necessitarem

Tot això sembla complicat, i per tant ens hem fet un esquema per anar veient els passos que farem. Haurem de revisar el teorema de Pitàgores, la semblança, algunes àrees i potser els percentatges. Anirem veient què passa; al final emplenarem la taula per veure-ho més clar.

Sobre l'arrodoniment. Tots els resultats estan arrodonits a dues xifres decimals, i cada pas fa servir el resultat arrodonit de l'anterior, com demanen les indicacions. Si es calcula sense arrodonir fins al final, alguns valors canvien a la segona xifra decimal: per exemple, el lila surt $2{,}99\ \text{m}^2$ en comptes de $3{,}01\ \text{m}^2$.

1. Les arestes que falten

Calcula totes les arestes que falten al disseny. Les mides del disseny que ens ha passat l'encarregada no són reals: cal fer càlculs matemàtics.

Veure la solució

Aresta 1

És el costat del quadrat de l'esquerra, que ja ve donat. També és el diàmetre dels dos semicercles i l'alçada del rectangle de baix a la dreta.

Aresta 1: $2$ cm

Aresta 3

El vèrtex de dalt del triangle blau fosc és al mig del costat de dalt del quadrat, que el parteix en dues meitats:

\dfrac{2}{2} = 1 \text{ cm}

Aresta 3: $1$ cm

Aresta 2

És la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets $2$ cm (l'alçada del quadrat) i $1$ cm (l'aresta 3). Pitàgores:

x^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \text{ cm}

Aresta 2: $2{,}24$ cm

Aresta 4

És la diagonal del rectangle de la dreta, hipotenusa d'un triangle rectangle de catets $1{,}5$ cm i $2$ cm:

y^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \text{ cm}

Aresta 4: $2{,}5$ cm

Aresta 5

És l'amplada de la columna de la dreta, que ja ve donada.

Aresta 5: $1{,}5$ cm

Aresta 6

La columna de la dreta fa $4{,}5$ cm d'alçada i el rectangle de sota en fa $2$:

4{,}5 - 2 = 2{,}5 \text{ cm}

Aresta 6: $2{,}5$ cm

2. Les mesures reals

Per aclarir-nos, passa les mesures del dibuix a mesures reals i fes-ne un esbós.

Veure la solució

Cada centímetre del dibuix són $75$ cm de la paret: multipliquem cada aresta per $75$ i passem a metres.

Aresta	Dibuix (cm)	Càlcul	Real
1	$2$	$2 \cdot 75 = 150 \text{ cm}$	$1{,}5 \text{ m}$
2	$2{,}24$	$2{,}24 \cdot 75 = 168 \text{ cm}$	$1{,}68 \text{ m}$
3	$1$	$1 \cdot 75 = 75 \text{ cm}$	$0{,}75 \text{ m}$
4	$2{,}5$	$2{,}5 \cdot 75 = 187{,}5 \text{ cm}$	$1{,}88 \text{ m}$
5	$1{,}5$	$1{,}5 \cdot 75 = 112{,}5 \text{ cm}$	$1{,}13 \text{ m}$
6	$2{,}5$	$2{,}5 \cdot 75 = 187{,}5 \text{ cm}$	$1{,}88 \text{ m}$

Esbós del mural amb les mides reals.

El radi dels semicercles és la meitat de l'aresta 1: $0{,}75$ m.

3. Els metres quadrats de cada color

Calcula les superfícies per saber els metres quadrats de cada color.

Veure la solució

Rosa

Al quadrat de l'esquerra, les dues puntes roses sumen la meitat del quadrat de $1{,}5$ m de costat. Al rectangle de la dreta hi ha un triangle rectangle de catets $1{,}5$ m i $1{,}13$ m.

1{,}5 \cdot 0{,}75 + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}13}{2} \approx 1{,}97 \text{ m}^2

1{,}97 \text{ m}^2

Lila

Un semicercle de radi $0{,}75$ m i el rectangle de dalt, de $1{,}13$ m per $1{,}88$ m.

\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + 1{,}13 \cdot 1{,}88 \approx 3{,}01 \text{ m}^2

3{,}01 \text{ m}^2

Blau fosc

El triangle del quadrat de l'esquerra: base $1{,}5$ m i alçada $1{,}5$ m.

\dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}5}{2} \approx 1{,}13 \text{ m}^2

1{,}13 \text{ m}^2

Blau cel

L'altre semicercle, de radi $0{,}75$ m, i el triangle de sota la diagonal, de catets $1{,}5$ m i $1{,}13$ m.

\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}13}{2} \approx 1{,}73 \text{ m}^2

1{,}73 \text{ m}^2

Arrodonint només el resultat final. Si es calcula amb les mides sense arrodonir ($1{,}125$ i $1{,}875$ m) i només s'arrodoneix al final:

\text{Rosa: }1{,}5 \cdot 0{,}75 + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}125}{2} = 1{,}96875 \approx 1{,}97 \text{ m}^2

\text{Lila: }\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + 1{,}125 \cdot 1{,}875 = 2{,}9929\ldots \approx 2{,}99 \text{ m}^2

\text{Blau fosc: }\dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}5}{2} = 1{,}125 \approx 1{,}13 \text{ m}^2

\text{Blau cel: }\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}125}{2} = 1{,}7273\ldots \approx 1{,}73 \text{ m}^2

Només canvia el lila.

4. Centrar el mural a la paret

Calcula exactament amb quines mides centrarem el disseny a la paret. Recorda que ha d'estar completament centrat.

Veure la solució

Marge horitzontal

El dibuix fa $2 + 2 + 1{,}5 = 5{,}5$ cm d'amplada. Amb el factor de conversió de l'escala:

5{,}5 \text{ cm} \cdot \dfrac{75 \text{ cm}}{1 \text{ cm}} = 412{,}5 \text{ cm} \approx 4{,}13 \text{ m}

La paret fa $6$ m: el que sobra es reparteix a banda i banda.

\dfrac{6 - 4{,}13}{2} \approx 0{,}94 \text{ m}

$0{,}94$ m de marge a l'esquerra i a la dreta

Marge vertical

El dibuix fa $4{,}5$ cm d'alçada:

4{,}5 \text{ cm} \cdot \dfrac{75 \text{ cm}}{1 \text{ cm}} = 337{,}5 \text{ cm} \approx 3{,}38 \text{ m}

\dfrac{5 - 3{,}38}{2} = 0{,}81 \text{ m}

$0{,}81$ m de marge a dalt i a baix

El mural centrat a la paret de 6 m × 5 m.

5. Els pots de pintura

Ara que ja saps els metres quadrats, demana amb exactitud els pots de pintura que necessitem. Indica tots els càlculs amb operacions combinades que s'entenguin: quan es tracta de diners, l'encarregada ho vol tenir clar.

Veure la solució

Cada pot pinta $1{,}5\ \text{m}^2$. Fem servir aquesta dada com a factor de conversió i arrodonim sempre cap amunt: un tros de pot no es pot comprar, i si en falta, el mural queda a mitges.

Rosa

1{,}97 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ pot}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 1{,}31 \text{ pots}

2 pots

Lila

3{,}01 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ pot}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 2{,}01 \text{ pots}

3 pots

Blau fosc

1{,}13 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ pot}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 0{,}75 \text{ pots}

1 pot

Blau cel

1{,}73 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ pot}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 1{,}15 \text{ pots}

2 pots

Amb el lila es veu per què importa l'arrodoniment. Amb $3{,}01\ \text{m}^2$ surten $2{,}01$ pots, i amb dos no n'hi ha prou per poc que sigui. Arrodonint només al final surten $2{,}99\ \text{m}^2$ i $1{,}995\ldots$ pots: amb dos n'hi hauria prou, però justíssim.

Cost total

Amb els preus de la nota 4, en una sola operació combinada:

2 \cdot 4{,}00 + 3 \cdot 4{,}58 + 1 \cdot 4{,}40 + 2 \cdot 4{,}25 = 8{,}00 + 13{,}74 + 4{,}40 + 8{,}50 = 34{,}64 \text{ euros}

$34{,}64$ € en pintura

Arrodonint només el resultat final. Amb les àrees sense arrodonir, el lila surt $2{,}9929\ldots / 1{,}5 = 1{,}995\ldots$ pots: dos pots n'hi ha prou, per molt poc. La resta de colors no canvia.

2 \cdot 4{,}00 + 2 \cdot 4{,}58 + 1 \cdot 4{,}40 + 2 \cdot 4{,}25 = 30{,}06 \text{ euros}

6. Percentatge de cada color

Ens ha sorgit un dubte: quin percentatge de cada color hi ha respecte a la superfície total de la paret?

Veure la solució

La paret fa $5 \cdot 6 = 30\ \text{m}^2$. Dividim l'àrea de cada color per l'àrea total i multipliquem per $100$.

Color	Càlcul	%
Rosa	$\dfrac{1{,}97}{30} \cdot 100$	$6{,}57\ \%$
Lila	$\dfrac{3{,}01}{30} \cdot 100$	$10{,}03\ \%$
Blau fosc	$\dfrac{1{,}13}{30} \cdot 100$	$3{,}77\ \%$
Blau cel	$\dfrac{1{,}73}{30} \cdot 100$	$5{,}77\ \%$

Arrodonint només el resultat final. Amb les àrees sense arrodonir:

Color	Càlcul	%
Rosa	$\dfrac{1{,}96875}{30} \cdot 100$	$6{,}56\ \%$
Lila	$\dfrac{2{,}9929\ldots}{30} \cdot 100$	$9{,}98\ \%$
Blau fosc	$\dfrac{1{,}125}{30} \cdot 100$	$3{,}75\ \%$
Blau cel	$\dfrac{1{,}7273\ldots}{30} \cdot 100$	$5{,}76\ \%$

7. Els conceptes de cada pregunta

Especifica quins conceptes matemàtics has fet servir a cada pregunta.

Veure la solució

Pregunta	Concepte
1	Pitàgores, figures planes
2	Escales, semblança
3	Àrees de figures planes
4	Aritmètica
5	Factors de conversió
6	Percentatges