Deures corregits (21 set) · Reptes matemàtics

L'enunciat

Troba per als cossos següents:

L'àrea de la base.
L'àrea lateral.
L'àrea total.
El volum, en cm³ i en litres.

Recorda: $1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1$ L. Són els mateixos tres cossos que els mòduls del Laboratori de supervivència, a una altra escala.

Sobre l'arrodoniment. Els resultats van arrodonits a les centèsimes i, com a classe, cada pas fa servir el resultat arrodonit de l'anterior. Quan arrodonir només al final canvia alguna xifra, ho diem a la mateixa solució.

1. Prisma rectangular

Prisma rectangular: base de 8 cm × 5 cm i altura de 7 cm.

Veure la solució

a) Àrea de la base

La base és un rectangle de $8$ cm per $5$ cm:

A_B = 8 \cdot 5 = 40\text{ cm}^2

$A_B = 40\ \text{cm}^2$

b) Àrea lateral

La cara lateral desplegada és un rectangle amb el perímetre de la base per llarg i l'altura per alt:

P_B = 8 + 5 + 8 + 5 = 26 \text{ cm}

A_L = P_B \cdot h = 26 \cdot 7 = 182\text{ cm}^2

$A_L = 182\ \text{cm}^2$

c) Àrea total

Dues bases i la lateral:

A_T = 2 \cdot A_B + A_L = 2 \cdot 40 + 182 = 262\text{ cm}^2

$A_T = 262\ \text{cm}^2$

d) Volum

V = A_B \cdot h = 40 \cdot 7 = 280\text{ cm}^3

Per passar a litres dividim per $1000$:

280 : 1000 = 0{,}28 \text{ L}

$V = 280\ \text{cm}^3 = 0{,}28$ L

2. Cilindre

Cilindre: radi de 4 cm i altura de 9 cm. Desenrotllada, la cara lateral és un rectangle tan llarg com la circumferència de la base.

Veure la solució

a) Àrea de la base

La base és un cercle de radi $4$ cm:

A_B = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4^2 \approx 50{,}27\text{ cm}^2

$A_B \approx 50{,}27\ \text{cm}^2$

b) Àrea lateral

El perímetre de la base és la circumferència, $2\pi r$:

A_L = P_B \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 9 \approx 226{,}19\text{ cm}^2

$A_L \approx 226{,}19\ \text{cm}^2$

c) Àrea total

A_T = 2 \cdot A_B + A_L = 2 \cdot 50{,}27 + 226{,}19 = 326{,}73\text{ cm}^2

$A_T \approx 326{,}73\ \text{cm}^2$

d) Volum

V = A_B \cdot h = 50{,}27 \cdot 9 = 452{,}43\text{ cm}^3

452{,}43 : 1000 \approx 0{,}45 \text{ L}

Arrodonint només al final, $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \approx 452{,}39\ \text{cm}^3$: la diferència ve d'haver arrodonit l'àrea de la base abans de multiplicar per $9$. En litres surt igual, $0{,}45$ L.

$V \approx 452{,}43\ \text{cm}^3 \approx 0{,}45$ L

3. Piràmide de base quadrada

Piràmide de base quadrada: costat de 7 cm i altura de 8 cm. L'altura de cada triangle lateral és l'apotema, no l'altura de la piràmide.

Veure la solució

a) Àrea de la base

A_B = c^2 = 7^2 = 49\text{ cm}^2

$A_B = 49\ \text{cm}^2$

b) Àrea lateral

Les cares laterals són 4 triangles de base $7$ cm. La seva altura és l'apotema $h'$, que no ens donen: la trobem amb Pitàgores al triangle rectangle que formen l'altura de la piràmide ($8$ cm), la meitat del costat de la base ($3{,}5$ cm) i l'apotema.

h'^2 = 8^2 + 3{,}5^2 = 64 + 12{,}25 = 76{,}25 \;\Longrightarrow\; h' = \sqrt{76{,}25} \approx 8{,}73 \text{ cm}

A_L = 4 \cdot A_{\triangle} = 4 \cdot \dfrac{7 \cdot 8{,}73}{2} = 122{,}22\text{ cm}^2

A classe vam escriure $A_T$ per a l'àrea de cada triangle; aquí posem $A_{\triangle}$ perquè no es confongui amb l'àrea total. Arrodonint només al final (amb $h' = \sqrt{76{,}25}$) surt $A_L \approx 122{,}25\ \text{cm}^2$.

$h' \approx 8{,}73$ cm · $A_L \approx 122{,}22\ \text{cm}^2$

c) Àrea total

La piràmide només té una base:

A_T = A_B + A_L = 49 + 122{,}22 = 171{,}22\text{ cm}^2

Arrodonint només al final, $A_T \approx 171{,}25\ \text{cm}^2$.

$A_T \approx 171{,}22\ \text{cm}^2$

d) Volum

Aquí sí que va l'altura de la piràmide, $8$ cm, i no l'apotema:

V = \dfrac{A_B \cdot h}{3} = \dfrac{49 \cdot 8}{3} \approx 130{,}67\text{ cm}^3

130{,}67 : 1000 \approx 0{,}13 \text{ L}

$V \approx 130{,}67\ \text{cm}^3 \approx 0{,}13$ L