La situació
Ens ha arribat a la central la informació que una gran tempesta ha malmès la base científica situada a l'Àrtic. Per sort, l'equip de rescat de les nostres bases a la zona ha pogut rescatar els científics que hi estaven treballant, i el seu pronòstic és bo. Vosaltres sou el nou equip que ha de reconstruir el laboratori per continuar amb la recerca que estaven fent i garantir la vostra seguretat.
Disposeu de recursos limitats, condicions extremes i un temps molt reduït per prendre decisions crítiques. Haureu de calcular, planificar, optimitzar i justificar cada pas amb rigor científic i matemàtic.
Nota. Tots els càlculs s'arrodoneixen a les centèsimes.
Conceptes previs
- Geometria i mesures: àrees de figures planes (quadrat, rectangle, triangle, cercle); superfície de la base dels sòlids; volums: prisma $V = A_{\text{base}} \cdot h$, cilindre $V = \pi r^2 h$, piràmide $V = \frac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$.
- Sistemes de mesura: unitats de longitud, d'àrea i de volum, i la relació amb els litres: $1\ \text{dm}^3 = 1$ L i $1\ \text{m}^3 = 1000$ L.
- Aritmètica i proporcionalitat: regla de tres, percentatges i operacions amb decimals i amb $\pi$.
- Equacions: passar d'una expressió a una equació, aïllar la incògnita (per exemple $a^2 = 12$) i l'arrel quadrada.
- Context: interpretar els resultats (litres, dies, espai lliure) i comprovar si tenen sentit.
Repte 1: Disseny del campament científic
Ens adonem que tots els mòduls estan inservibles, tot i que la majoria del mobiliari interior i dels materials es poden aprofitar. Hem de redissenyar l'estructura del campament i, donada la urgència, només tenim aquests mòduls:
Prisma de base quadrada
2,5 × 2,5 × 6 m
Edificació
Cilindre gran
radi 1,2 m · altura 2,5 m
Aigua potable
Piràmide de base quadrada
3,5 × 3,5 × 2,5 m
Combustible · residus reciclables
Cilindre petit
radi 1 m · altura 2 m
Residus orgànics · rebuig
Al campament, de moment, sereu 12 persones, i la superfície total disponible és de 300 m². Necessitem:
Mòduls per edificar el campament
- 1 mòdul per dormir per cada 3 persones.
- 1 mòdul de cuina.
- 1 mòdul de laboratori per cada 4 persones.
- 1 mòdul de magatzem per cada 6 persones.
Mòduls complementaris en total
- 1 mòdul d'aigua potable.
- 1 mòdul de combustible.
- 1 mòdul per a residus orgànics.
- 1 mòdul per a residus de rebuig.
- 1 mòdul per a residus reciclables.
Tasca 1. Hi caben tots els mòduls?
Comproveu, abans de continuar, si tots aquests mòduls es poden posar al campament; si no, s'haurà de prescindir d'algunes coses. Pas 1: comprova els mòduls que necessites de cada tipus. Pas 2: calcula la superfície de la base de cada un. Pas 3: determina la superfície total i si hi cabran tots.
Veure la solució
Mòduls d'edificació (prismes), amb 12 persones:
Complementaris: 1 cilindre gran (aigua), 2 piràmides (combustible i reciclables) i 2 cilindres petits (orgànics i rebuig).
10 prismes + 1 cilindre gran + 2 piràmides + 2 cilindres petits = 15 mòduls
La base dels prismes i de les piràmides és un quadrat ($\ell^2$) i la dels cilindres, un cercle ($\pi r^2$):
| Nombre | Forma | Superfície de la base (m²) | Subtotal (m²) |
|---|---|---|---|
| 10 | Prisma de base quadrada | $2{,}5^2 = 6{,}25$ | $62{,}50$ |
| 1 | Cilindre gran | $\pi \cdot 1{,}2^2 \approx 4{,}52$ | $4{,}52$ |
| 2 | Piràmide de base quadrada | $3{,}5^2 = 12{,}25$ | $24{,}50$ |
| 2 | Cilindre petit | $\pi \cdot 1^2 \approx 3{,}14$ | $6{,}28$ |
És molt menys que els $300\ \text{m}^2$ disponibles.
Si les bases dels cilindres no s'arrodoneixen fins al final, surt $97{,}81\ \text{m}^2$.
Els mòduls ocupen $97{,}80\ \text{m}^2$: hi caben tots.
Tasca 2. Espai lliure
Comprova quin percentatge del campament ens queda lliure de mòduls. Per seguretat, ha de superar el 30 %. És així?
Veure la solució
Amb $97{,}81\ \text{m}^2$ queden $202{,}19\ \text{m}^2$ lliures, i el percentatge també surt $67{,}40\ \%$.
Queda lliure el $67{,}40\ \%$, més del $30\ \%$: el campament és segur.
Repte 2: Comprovant capacitats
Enmig de l'Àrtic hem d'estar segurs que tenim prou oxigen si ens hem de confinar hermèticament, prou aigua potable i prou capacitat per als residus, que només podrem buidar quan els vinguin a buscar. Per saber la capacitat necessitem els volums de cada mòdul, i recordar que $1\ \text{dm}^3 = 1$ L.
Tasca 1. La capacitat dels mòduls
Calcula la capacitat dels mòduls, en m³ i en litres.
Veure la solució
Com que $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1000$ L, per passar a litres multipliquem per $1000$. Volum de cada mòdul:
| Nombre | Forma | Càlcul | Volum (m³) | Litres |
|---|---|---|---|---|
| 10 | Prisma de base quadrada | $2{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 6$ | $37{,}50$ | $37\,500$ |
| 1 | Cilindre gran | $\pi \cdot 1{,}2^2 \cdot 2{,}5$ | $11{,}31$ | $11\,310$ |
| 2 | Piràmide de base quadrada | $\tfrac{1}{3} \cdot 3{,}5^2 \cdot 2{,}5$ | $10{,}21$ | $10\,210$ |
| 2 | Cilindre petit | $\pi \cdot 1^2 \cdot 2$ | $6{,}28$ | $6\,280$ |
La piràmide té un terç del volum del prisma amb la mateixa base i la mateixa altura; per això porta el $\tfrac{1}{3}$.
Tasca 2. L'aire dels mòduls edificats
Indica quina quantitat d'aire hi ha en els mòduls edificats.
Veure la solució
Els mòduls edificats són els 10 prismes:
$375\,000$ L d'aire
Tasca 3. Aigua, combustible i residus
Indica quanta aigua potable, combustible i residus de cada tipus podem emmagatzemar.
Veure la solució
| Què | Mòdul | Capacitat |
|---|---|---|
| Aigua potable | 1 cilindre gran | $11\,310$ L |
| Combustible | 1 piràmide | $10\,210$ L |
| Residus reciclables | 1 piràmide | $10\,210$ L |
| Residus orgànics | 1 cilindre petit | $6\,280$ L |
| Residus de rebuig | 1 cilindre petit | $6\,280$ L |
Repte 3: Supervivència
Abans d'enviar l'expedició hem de veure si complim els requisits de supervivència.
A. L'oxigen en un confinament
En cas de tempesta extrema o d'una fuga química, les 12 persones s'hauran de confinar als mòduls d'edificació, que estan comunicats entre ells. Volem saber quant de temps podrien aguantar amb l'oxigen, sense poder renovar l'aire.
Dades: cada persona en repòs necessita uns $0{,}5$ L d'oxigen per minut, i l'aire que respirem té un $21\ \%$ d'oxigen.
Tasca A1
Usant les dades del repte 2, indica la quantitat d'aire que hi ha als 10 mòduls.
Veure la solució
$375\,000$ L
Tasca A2
Indica la quantitat d'oxigen disponible en aquest aire.
Veure la solució
El $21\ \%$ de l'aire és oxigen:
$78\,750$ L d'oxigen
Tasca A3
Calcula quanta quantitat d'oxigen necessiten les 12 persones cada minut.
Veure la solució
$6$ L/min
Tasca A4
Calcula els minuts que tindrem abans que s'esgoti l'oxigen dels mòduls, i passa-ho a hores i a dies.
Veure la solució
$13\,125$ min $= 218{,}75$ h $\approx 9{,}11$ dies
Tasca A5
Quants dies aguantaran? Creieu que la supervivència depèn només de l'oxigen?
Veure la solució
Per l'oxigen, uns 9 dies. Però no depèn només de l'oxigen:
- El diòxid de carboni que exhalem s'acumula i es fa perillós molt abans que s'acabi l'oxigen.
- El mobiliari i els materials ocupen part dels mòduls: hi ha menys aire que el volum que hem calculat.
- També compten l'aigua, el menjar, la calefacció amb el combustible i la humitat.
Uns 9 dies, però el límit real seria abans.
B. Una piràmide de combustible més petita
Ens agradaria reduir la piràmide de combustible, perquè no en necessitarem tant i a més és un perill afegit. Sabries trobar una equació que ens donés una altra mida del costat de la base quadrada de la piràmide perquè el combustible fos exactament $10\ \text{m}^3$? L'altura continua sent $2{,}5$ m.
Veure la solució
Volum d'una piràmide de base quadrada de costat $a$ i altura $h$:
Amb $V = 10$ i $h = 2{,}5$, l'equació és:
Aïllem $a^2$ i fem l'arrel quadrada (el costat ha de ser positiu):
Comprovació: amb $a = 3{,}46$ surt $V \approx 9{,}98\ \text{m}^3$; la diferència és de l'arrodoniment. Fixeu-vos que només reduïm el costat 4 cm, de $3{,}5$ a $3{,}46$ m: el volum inicial, $10{,}21\ \text{m}^3$, ja era molt a prop de 10.
El costat de la base ha de fer $\sqrt{12} \approx 3{,}46$ m.