Inici / Docència / 3r ESO / Nombres racionals / 05 · Multiplicació, divisió i operacions combinades
3r ESO · Nombres racionals Apunts 13 oct 2026

Multiplicació, divisió i operacions combinades

Multiplicar en línia, dividir en creu (o per la inversa), la regla dels signes i l'ordre de les operacions combinades.

Multiplicació

Per multiplicar dues fraccions, multipliquem en línia: numerador per numerador i denominador per denominador.

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Exemple.

$$\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \dfrac{10}{21}$$

Exemple. Quan els nombres són grans, val la pena descompondre'ls en factors i simplificar abans de multiplicar:

$$\dfrac{30}{48} \cdot \dfrac{15}{27} \cdot \dfrac{6}{10} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 5}{2^4 \cdot 3} \cdot \dfrac{3 \cdot 5}{3^3} \cdot \dfrac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \dfrac{2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{2^5 \cdot 3^4 \cdot 5} = \dfrac{5}{2^3 \cdot 3} = \dfrac{5}{24}$$
$$\dfrac{12}{28} \cdot \dfrac{49}{25} \cdot \dfrac{75}{9} = \dfrac{2^2 \cdot 3}{2^2 \cdot 7} \cdot \dfrac{7^2}{5^2} \cdot \dfrac{3 \cdot 5^2}{3^2} = \dfrac{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7} = \dfrac{7}{1} = 7$$

Divisió

Per dividir dues fraccions $\dfrac{a}{b}$ i $\dfrac{c}{d}$ hi ha dues maneres, que donen el mateix:

→ Multiplicar en creu:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

→ Multiplicar per la inversa de la segona fracció:

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Exemple.

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{3 \cdot 8}{4 \cdot 9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$$

Regla dels signes

Quan es multipliquen dos nombres, el signe del resultat és:

$+$$\cdot$$+$$=$$+$
$+$$\cdot$$-$$=$$-$
$-$$\cdot$$+$$=$$-$
$-$$\cdot$$-$$=$$+$

Igual per a la divisió.

Exemple. Primer decidim el signe: hi ha tres factors negatius, i un nombre senar de signes menys dona negatiu. Després dividim com sempre, multiplicant per la inversa:

$$\left(-\dfrac{3}{4}\right) : \left(-\dfrac{5}{8}\right) : \left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{3}{4} : \dfrac{5}{8} : \dfrac{2}{5} = -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = -\dfrac{3 \cdot 2^3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5 \cdot 2} = -3$$

Exemple. Aquí n'hi ha dos de negatius, i el resultat és positiu. Les operacions del mateix nivell es fan d'esquerra a dreta:

$$\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) : \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{30} = \dfrac{2}{15}$$

Operacions combinades

Quan hi ha diverses operacions, l'ordre és aquest:

  1. Parèntesis i claudàtors, de dins cap a fora: $(\;)$, $[\;]$
  2. Potències i arrels: $a^n$, $\sqrt{\;}$
  3. Multiplicacions i divisions, d'esquerra a dreta: $\cdot$, $:$
  4. Sumes i restes: $+$, $-$

Exemple. La multiplicació va abans que la suma:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{6}{9} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{13}{9}$$

Exemple. Amb un parèntesi: primer la divisió de dins, després la resta, després la multiplicació i al final la suma:

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{5}{2} : \dfrac{3}{4} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{20}{6} - 1\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \left(\dfrac{10}{3} - \dfrac{3}{3}\right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{13}{9}$$