4. A quin conjunt pertany?
Determina a quin conjunt pertanyen els nombres següents.
a) $\displaystyle -\dfrac{2}{5}$
És una fracció amb numerador i denominador enters, i no és un enter: $-2 : 5 = -0{,}4$.
$-\dfrac{2}{5} \in \mathbb{Q}$, però no és enter ni natural.
b) $\displaystyle \sqrt{4}$
Primer calculem l'arrel:
$\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}$ (i, per tant, també és de $\mathbb{Z}$ i de $\mathbb{Q}$).
c) $\displaystyle 2{,}0\overline{3}$
És un decimal periòdic mixt: l'anteperíode és el $0$ i el període, el $3$. Els decimals periòdics es poden escriure com una fracció:
$2{,}0\overline{3} \in \mathbb{Q}$, però no és enter.
d) $\displaystyle -6$
És un enter negatiu. També es pot escriure com una fracció: $-6 = -\dfrac{6}{1}$.
$-6 \in \mathbb{Z}$ (i a $\mathbb{Q}$), però no és natural.
e) $\displaystyle \dfrac{4}{9}$
És una fracció que no dona un enter:
$\dfrac{4}{9} \in \mathbb{Q}$, però no és enter.
f) $\displaystyle 0{,}71$
És un decimal exacte, i es pot escriure com una fracció:
$0{,}71 \in \mathbb{Q}$, però no és enter.
g) $\displaystyle \dfrac{12}{3}$
La divisió és exacta:
$\dfrac{12}{3} = 4 \in \mathbb{N}$ (i a $\mathbb{Z}$ i a $\mathbb{Q}$).
Resum
Com que $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, un nombre natural també és enter i racional. A cada apartat diem el conjunt més petit.
| Nombre | $\mathbb{N}$ | $\mathbb{Z}$ | $\mathbb{Q}$ |
|---|---|---|---|
| $-\dfrac{2}{5}$ | — | — | ✓ |
| $\sqrt{4}$ | ✓ | ✓ | ✓ |
| $2{,}0\overline{3}$ | — | — | ✓ |
| $-6$ | — | ✓ | ✓ |
| $\dfrac{4}{9}$ | — | — | ✓ |
| $0{,}71$ | — | — | ✓ |
| $\dfrac{12}{3}$ | ✓ | ✓ | ✓ |
5. Veritable o fals
Indica si les afirmacions següents són veritables o falses i, en aquest darrer cas, corregeix-les al teu quadern.
a) Tots els nombres enters són racionals.
Qualsevol enter es pot escriure com una fracció amb denominador $1$:
Veritable.
b) Una fracció és el quocient de dos nombres naturals.
El numerador i el denominador poden ser negatius, i el $0$ pot ser numerador. Per exemple, $-\dfrac{3}{4}$ és una fracció i $-3$ no és natural. L'única condició és que el denominador no sigui $0$.
Falsa. Corregida: «Una fracció és el quocient de dos nombres enters, amb el denominador diferent de $0$».
c) Els nombres decimals periòdics són nombres racionals.
Tots els decimals periòdics, purs i mixtos, es poden escriure com una fracció. Per exemple:
Veritable.
2. El benefici d'una empresa
Una empresa té unes despeses fixes mensuals de 15 000 € i unes despeses diàries, derivades de la fabricació del seu producte, de 350 €. Si un mes determinat (30 dies) l'empresa ha venut 250 unitats d'aquest producte a un preu unitari de 70 €, a quant puja el benefici mensual?
Veure la solució
Despeses diàries de tot el mes:
Despeses totals del mes:
Ingressos per les vendes:
El benefici és el que s'ingressa menys el que es gasta:
El benefici és $-8\,000$ €: aquest mes l'empresa perd $8\,000$ €. Un benefici negatiu és una pèrdua, i per això ens calen els nombres enters.
Modifica alguna de les dades, torna-ho a resoldre i contesta la pregunta. Quines diferències hi trobes? Té sentit, el resultat? Justifica les respostes.
Un exemple
Hi ha moltes maneres de fer-ho. Per exemple, si l'empresa ven 400 unitats en comptes de 250, les despeses no canvien:
Ara el benefici és positiu: l'empresa guanya diners. El resultat té sentit: com més unitats ven, més ingressa, i les despeses són les mateixes.
Quantes unitats ha de vendre com a mínim per no perdre diners?
Amb 364 unitats encara perd diners ($364 \cdot 70 = 25\,480$ €); a partir de 365 unitats ja en guanya.