Conjunts numèrics · Nombres racionals

Nombres naturals

Serveixen per comptar.

\mathbb{N} = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\}

Nombres enters

Serveixen per comptar i descomptar.

\mathbb{Z} = \{\ldots,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots\}

Nombres racionals

Serveixen, entre d'altres coses, per repartir. Són tots els nombres que es poden posar en forma de fracció.

\mathbb{Q} = \left\{ \dfrac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0 \right\}

Es llegeix: «el conjunt de les fraccions $\frac{a}{b}$ on $a$ i $b$ són enters i $b$ és diferent de $0$».

Exemples

$\dfrac{3}{4}$✓ és una fracció

$\dfrac{5{,}2}{3}$✗ no és una fracció: $5{,}2$ no és un enter.

$\dfrac{0}{3} = 0$✓ és una fracció

$\dfrac{-5}{0}$✗ no és una fracció: el denominador no pot ser $0$: no es pot repartir entre zero parts.

Parts de la fracció

\dfrac{\textcolor{#0891b2}{a}}{\textcolor{#db2777}{b}}

→ Numerador ($a$): les parts representades. → Denominador ($b$): les parts en què es divideix cada unitat.

La fracció a la recta

Procediment

→ El denominador diu en quantes parts iguals es divideix cada unitat.

→ El numerador diu quantes d'aquestes parts comptem des del $0$: cap a la dreta si és positiu, cap a l'esquerra si és negatiu.

Exemple. Per representar $\dfrac{7}{3}$, dividim cada unitat en $3$ parts i en comptem $7$ des del $0$: el punt cau entre el $2$ i el $3$.

Prova-ho: canvia el numerador i el denominador i mira on cau la fracció.

Numerador7 Denominador3

Diagrama de conjunts

Tot nombre natural és enter, i tot enter és racional: $\;\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

$\mathbb{Q}$

$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$2$$5$

$-3$$0$

$\dfrac{7}{3}$ $\dfrac{3}{4}$ $5{,}2$decimal exacte $5{,}\overline{2}$periòdic pur $5{,}0\overline{2}$periòdic mixt

Els decimals racionals

→ Decimal exacte: té un nombre finit de xifres decimals. $5{,}2$

→ Decimal periòdic pur: una xifra o un grup de xifres (el període) es repeteix per sempre just després de la coma. $5{,}\overline{2} = 5{,}222\ldots$

→ Decimal periòdic mixt: abans del període hi ha xifres que no es repeteixen. $5{,}0\overline{2} = 5{,}0222\ldots$

Tots tres es poden escriure com una fracció; per això són racionals.