10. Potències i arrels de fraccions · Fraccions

Potència d'una fracció

Elevar una fracció a $n$ és multiplicar-la per ella mateixa $n$ vegades. S'eleven el numerador i el denominador:

\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdots \dfrac{a}{b}}_{n} = \dfrac{a^n}{b^n}

Exemple.

\left(\dfrac{3}{2}\right)^4 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3^4}{2^4} = \dfrac{81}{16}

Operacions amb potències de fraccions

Mateixa base

Per multiplicar (o dividir) potències amb la mateixa base, es deixa la base i se sumen (o es resten) els exponents.

\left(\dfrac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m+n}

\left(\dfrac{a}{b}\right)^m : \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m-n}

Mateix exponent

Per multiplicar (o dividir) potències amb el mateix exponent, es deixa l'exponent i es multipliquen (o es divideixen) les bases.

\left(\dfrac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^m = \left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right)^m

\left(\dfrac{a}{b}\right)^m : \left(\dfrac{c}{d}\right)^m = \left(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}\right)^m

Potència d'una potència

Es deixa la base i es multipliquen els exponents.

\left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m \cdot n}

Exponent negatiu

És la inversa de la fracció, amb l'exponent canviat de signe.

\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-m} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^m

Exponent 0

Qualsevol potència elevada a $0$ val $1$.

\left(\dfrac{a}{b}\right)^0 = 1

Exponent 1

Qualsevol potència elevada a $1$ és ella mateixa.

\left(\dfrac{a}{b}\right)^1 = \dfrac{a}{b}

Exemples

Exemple 1. Girem $\dfrac{4}{3}$ per tenir la mateixa base que $\dfrac{3}{4}$:

\left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3

Mateixa base: sumem exponents, $5 + (-2) = 3$. I ara les dues tenen el mateix exponent: multipliquem les bases.

= \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64}

Exemple 2. Primer el claudàtor, de dins cap a fora:

\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^7 : \left(\dfrac{2}{3}\right)^3\right]^2 : \left(\dfrac{3}{2}\right)^8 = \left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^4\right]^2 : \left(\dfrac{3}{2}\right)^8 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^8 : \left(\dfrac{3}{2}\right)^8

Mateix exponent: dividim les bases.

= \left(\dfrac{2}{3} : \dfrac{3}{2}\right)^8 = \left(\dfrac{4}{9}\right)^8 = \dfrac{4^8}{9^8}

Un altre camí: $\dfrac{3}{2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-1}$, així que dividir entre $\left(\dfrac{3}{2}\right)^8$ és multiplicar per $\left(\dfrac{2}{3}\right)^8$, i queda $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}$. És el mateix nombre: $\dfrac{4^8}{9^8} = \dfrac{2^{16}}{3^{16}}$.

Arrel d'una fracció

Arrel

L'arrel d'una fracció és l'arrel del numerador entre l'arrel del denominador.

\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Exemple.

\sqrt{\dfrac{49}{25}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}} = \dfrac{7}{5}