8. Multiplicació i divisió de fraccions · Fraccions

Multiplicació

Per multiplicar fraccions, multipliquem en línia: numerador amb numerador i denominador amb denominador.

\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}

Exemple. Multiplicant directament i simplificant al final:

\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{4} = \dfrac{3 \cdot 10}{5 \cdot 4} = \dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2}

És més còmode descompondre abans de multiplicar i ratllar els factors que es repeteixen a dalt i a baix:

\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{4} = \dfrac{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 2} = \dfrac{3}{2}

Amb nombres grans és on més es nota:

\dfrac{15}{27} \cdot \dfrac{30}{48} \cdot \dfrac{24}{45} = \dfrac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3)}{3^3 \cdot (2^4 \cdot 3) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \dfrac{2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5} = \dfrac{5}{3^3} = \dfrac{5}{27}

Si es multiplica primer, surt $\dfrac{10\,800}{58\,320}$, i després cal simplificar-ho. Descomponent, el resultat surt ja irreductible.

Divisió

Per dividir fraccions, multipliquem en creu: el numerador de la primera amb el denominador de la segona, i el denominador de la primera amb el numerador de la segona.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

És el mateix que multiplicar la primera per la inversa de la segona. La inversa s'obté canviant el numerador pel denominador.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

Exemple. Amb diverses divisions seguides s'opera d'esquerra a dreta:

\dfrac{5}{3} : \dfrac{2}{7} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{35}{6} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{175}{24}

O bé, tot de cop: la primera fracció es queda igual i totes les altres s'inverteixen.

\dfrac{5}{3} : \dfrac{2}{7} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{175}{24}

Fracció de fraccions. Una fracció que té fraccions al numerador i al denominador és una divisió:

\dfrac{\;\dfrac{5}{6}\;}{\;\dfrac{4}{3}\;} = \dfrac{5}{6} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}

Truc: els extrems ($5$ i $3$, els de fora) van al numerador, i els mitjans ($6$ i $4$, els de dins) al denominador.