8. Sistemes no lineals · Equacions i sistemes

Què és un sistema no lineal

Lineal vs. no lineal

Un sistema lineal de 2 equacions amb dues incògnites està format per equacions de grau 1. Per exemple:

\begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ x + 2y = 3. \end{cases}

Es resol per reducció, igualació o substitució — qualsevol dels tres mètodes hi funciona sempre.

Un sistema no lineal és aquell on almenys una equació no és de grau 1: poden aparèixer productes $xy$, quadrats, arrels, exponencials, logaritmes, etc.

Estratègia: substitució + ull obert

El mètode principal és la substitució: aïllem una incògnita en l'equació "més senzilla" i la fiquem dins de l'altra. Però, a diferència dels lineals, els sistemes no lineals no tenen un mètode únic i fix — cada sistema té estructura pròpia i convé mirar-lo abans de començar.

Eines útils que apareixeran als exemples:

· Canvi de variable: $\,t = \log x,\; z = \log y\,$ converteix un sistema logarítmic en un sistema lineal en $t, z$.

· Canvi exponencial: $\,t = 2^x,\; z = 2^y\,$ converteix un sistema d'exponencials en un sistema sobre $t, z$.

· Productes notables i reducció: combinant les equacions amb signes adequats poden aparèixer $(x-y)^{2}$ o $(x+y)^{2}$.

· Vieta: si tenim suma i producte ($\,a+b = S,\; a\cdot b = P\,$), llavors $a$ i $b$ són les arrels de $w^{2} - Sw + P = 0$.

Verificació final

En sistemes amb logaritmes o radicals, alguns valors candidats poden caure fora del domini ($\log$ d'un nombre $\leq 0$, $\sqrt{\cdot}$ d'un negatiu). Cal substituir sempre per descartar les solucions estranyes.

Exemple introductori — dues vies

$\begin{cases} xy = -6 \\ x^{2} + y^{2} = 13 \end{cases}$

Té un producte $xy$ i una suma de quadrats: clarament no és lineal. El podem atacar per dos camins.

VIA 1 Substitució directa. De la primera, $\,y = -\dfrac{6}{x}\,$ (suposem $x \neq 0$). A la segona:

x^{2} + \dfrac{36}{x^{2}} = 13.

Multipliquem per $x^{2}$: $\;x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$ (biquadrada). Canvi $t = x^{2}$:

t^{2} - 13t + 36 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{13 \pm 5}{2} \;\Rightarrow\; t = 9\ \text{o}\ t = 4.

Així $x = \pm 3$ o $x = \pm 2$, i $y = -6/x$ dóna respectivament $y = \mp 2$ o $y = \mp 3$.

VIA 2 Combinació amb un producte notable. Multipliquem la primera per $-2$ i sumem la segona:

\begin{aligned} -2xy &= 12, \\ x^{2} + y^{2} &= 13. \end{aligned} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 2xy + y^{2} = 25 \;\Longleftrightarrow\; (x-y)^{2} = 25.

D'aquí $\,x - y = \pm 5$.

· Si $x - y = 5$: $\,x = y + 5\,$ i $\,xy = -6 \Rightarrow (y+5)y = -6 \Rightarrow y^{2} + 5y + 6 = 0 \Rightarrow y = -2$ o $y = -3$. Solucions: $(3, -2)$ i $(2, -3)$.

· Si $x - y = -5$: $\,x = y - 5\,$ i $\,(y-5)y = -6 \Rightarrow y^{2} - 5y + 6 = 0 \Rightarrow y = 2$ o $y = 3$. Solucions: $(-3, 2)$ i $(-2, 3)$.

Les dues vies coincideixen en quatre solucions:

\boxed{\;(x,y) \in \{(3,-2),\ (-3,2),\ (2,-3),\ (-2,3)\}.\;}

La via 2 és més elegant aquí perquè aprofita la simetria de $x^{2}+y^{2}$ amb $-2xy$. La via 1 sempre funciona, però et porta a una biquadrada i quatre branques.

Sistemes amb dues equacions logarítmiques

Receta

Quan totes dues equacions són sumes i restes de logaritmes (o ho són després d'aplicar les propietats $\log(BC) = \log B + \log C$ i $\log(B/C) = \log B - \log C$), fem el canvi:

t = \log x, \qquad z = \log y.

El sistema esdevé lineal en $t, z$, el resolem com sempre, i al final desfem el canvi: $x = 10^{t}$, $y = 10^{z}$.

Exemple b) $\begin{cases} 2\log x + \log y = 5 \\ \log(xy) = 4 \end{cases}$

Reescrivim la segona: $\log x + \log y = 4$. Amb el canvi $t = \log x$, $z = \log y$:

\begin{cases} 2t + z = 5, \\ t + z = 4. \end{cases}

Per reducció: $t = 1$, i de la segona $z = 3$. Desfent el canvi: $x = 10^{1} = 10$, $y = 10^{3} = 1000$.

Verificació: $2\log 10 + \log 1000 = 2 + 3 = 5$ ✓; $\log(10 \cdot 1000) = \log 10000 = 4$ ✓.

\boxed{\;x = 10,\ y = 1000.\;}

Exemple f) $\begin{cases} \log(xy) = 4 \\ \log\!\dfrac{x}{y^{2}} = -2 \end{cases}$

Apliquem propietats: $\log x + \log y = 4$ i $\log x - 2\log y = -2$. Amb el canvi $t = \log x$, $z = \log y$:

\begin{cases} t + z = 4, \\ t - 2z = -2. \end{cases}

Restant: $3z = 6 \Rightarrow z = 2$, i $t = 4 - 2 = 2$. Així $x = 100$, $y = 100$.

Verificació: $\log(100 \cdot 100) = 4$ ✓; $\log\bigl(\tfrac{100}{10000}\bigr) = \log 0{,}01 = -2$ ✓.

\boxed{\;x = 100,\ y = 100.\;}

Exemple m) $\begin{cases} \log x + 3\log y = 5 \\ \log\!\dfrac{x^{2}}{y} = 3 \end{cases}$

La segona dóna $2\log x - \log y = 3$. Canvi $t = \log x$, $z = \log y$:

\begin{cases} t + 3z = 5, \\ 2t - z = 3 \;\Rightarrow\; z = 2t - 3. \end{cases}

Substituint: $t + 3(2t - 3) = 5 \Rightarrow 7t = 14 \Rightarrow t = 2$, i $z = 1$. Així $x = 100$, $y = 10$.

Verificació: $\log 100 + 3\log 10 = 2 + 3 = 5$ ✓; $\log(10000/10) = \log 1000 = 3$ ✓.

\boxed{\;x = 100,\ y = 10.\;}

Mixt: una lineal + una logarítmica

Exemple g) $\begin{cases} x - 5y = -5 \\ \log x + \log y = 1 \end{cases}$

Aquí no ens cal el canvi $t = \log x$ — surt més curt aïllar des de la lineal.

VIA 1 De la lineal: $x = 5y - 5$. Substituïm a la segona, després de combinar els logaritmes:

\log\!\bigl[(5y-5)\,y\bigr] = 1 \;\Longrightarrow\; (5y-5)y = 10 \;\Longrightarrow\; 5y^{2} - 5y - 10 = 0.

y^{2} - y - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (y-2)(y+1) = 0 \;\Rightarrow\; y = 2\ \text{o}\ y = -1.

Descartem $y = -1$ (no es pot fer $\log(-1)$). Per $y = 2$: $\,x = 5\cdot 2 - 5 = 5$.

VIA 2 Si preferim, podem treballar primer la logarítmica: $\log(xy) = 1 \Rightarrow xy = 10$. El sistema esdevé $\{x - 5y = -5,\; xy = 10\}$, que també es resol per substitució i porta a la mateixa quadràtica.

Verificació: $5 - 5\cdot 2 = -5$ ✓; $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ ✓.

\boxed{\;x = 5,\ y = 2.\;}

Radical + exponencial / logarítmica

Exemple d) $\begin{cases} \sqrt{x-3} = y - 2 \\ 2^{x} = 4^{y-1} \end{cases}$

Comencem per l'exponencial que es deixa "lineal" fàcilment: $\,2^{x} = 4^{y-1} = 2^{2(y-1)} \Rightarrow x = 2y - 2$.

Substituïm a l'arrel: $\sqrt{2y-2-3} = y - 2 \Rightarrow \sqrt{2y-5} = y - 2$. Elevem al quadrat:

2y - 5 = (y-2)^{2} = y^{2} - 4y + 4 \;\Longrightarrow\; 0 = y^{2} - 6y + 9 = (y-3)^{2}.

Arrel doble $y = 3$, i $x = 2\cdot 3 - 2 = 4$.

Verificació: $\sqrt{4-3} = 1 = 3 - 2$ ✓; $2^{4} = 16 = 4^{2} = 4^{3-1}$ ✓.

\boxed{\;x = 4,\ y = 3.\;}

Exemple l) $\begin{cases} \sqrt{x-1} = y + 2 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$

VIA 1 Comencem per la logarítmica: $\log\!\dfrac{x}{y} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{y} = 10 \Rightarrow x = 10y$. Substituint:

\sqrt{10y - 1} = y + 2 \;\Longrightarrow\; 10y - 1 = y^{2} + 4y + 4.

0 = y^{2} - 6y + 5 = (y-1)(y-5) \;\Rightarrow\; y = 1\ \text{o}\ y = 5.

Així $(x, y) = (10, 1)$ o $(50, 5)$.

VIA 2 Alternativa: aïllem $x$ des de l'arrel. $\sqrt{x-1} = y+2 \Rightarrow x = (y+2)^{2} + 1 = y^{2} + 4y + 5$. Substituint a la logarítmica: $\log(y^{2}+4y+5) - \log y = 1 \Rightarrow \log\!\dfrac{y^{2}+4y+5}{y} = 1$, d'on $y^{2} + 4y + 5 = 10y$, és a dir, la mateixa quadràtica de la via 1.

Verificació: $(10, 1)$: $\sqrt{9} = 3 = 1+2$ ✓, $\log 10 - \log 1 = 1$ ✓. $(50, 5)$: $\sqrt{49} = 7 = 5+2$ ✓, $\log 50 - \log 5 = \log 10 = 1$ ✓.

\boxed{\;(x, y) \in \{(10, 1),\ (50, 5)\}.\;}

Sistemes amb dues exponencials

Exemple h) $\begin{cases} 3 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 3^{y} = 6 \\ \log_{2}(3^{y} - 1) = x \end{cases}$

De la segona, per definició inversa del logaritme: $\,3^{y} - 1 = 2^{x}\,$, és a dir $\,2^{x} = 3^{y} - 1$. Substituïm a la primera:

3(3^{y} - 1) - 2 \cdot 3^{y} = 6 \;\Longrightarrow\; 3 \cdot 3^{y} - 3 - 2 \cdot 3^{y} = 6 \;\Longrightarrow\; 3^{y} = 9 = 3^{2}.

Així $y = 2$, i $\,2^{x} = 3^{2} - 1 = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3$.

Verificació: $3 \cdot 8 - 2 \cdot 9 = 24 - 18 = 6$ ✓; $\log_{2}(9-1) = \log_{2} 8 = 3$ ✓.

\boxed{\;x = 3,\ y = 2.\;}

Exemple n) $\begin{cases} 2^{x} + 2^{y} = 12 \\ 2^{x} \cdot 2^{y} = 32 \end{cases}$

Aquí tenim suma i producte de dues quantitats — convida a usar Vieta.

VIA 1 Canvi de variable + Vieta. Sigui $\,t = 2^{x},\; z = 2^{y}$. Llavors:

t + z = 12, \qquad t \cdot z = 32.

$t$ i $z$ són les arrels de $\,w^{2} - 12w + 32 = 0$:

w = \dfrac{12 \pm \sqrt{144-128}}{2} = \dfrac{12 \pm 4}{2} \;\Rightarrow\; w = 8\ \text{o}\ w = 4.

Així $\{t, z\} = \{8, 4\}$, és a dir $\,2^{x} = 8 = 2^{3},\; 2^{y} = 4 = 2^{2}\,$ (o a l'inrevés). Solucions: $(3, 2)$ i $(2, 3)$.

VIA 2 Producte d'exponencials → suma d'exponents. $\,2^{x} \cdot 2^{y} = 2^{x+y} = 32 = 2^{5} \Rightarrow x + y = 5$. Llavors $y = 5 - x$, i la primera dóna:

2^{x} + 2^{5-x} = 12 \;\Longleftrightarrow\; 2^{x} + \dfrac{32}{2^{x}} = 12.

Multiplicant per $2^{x}$ i amb el canvi $t = 2^{x}$: $\,t^{2} - 12t + 32 = 0$ — la mateixa quadràtica que a la via 1. Recuperem les mateixes dues solucions.

Verificació: $(3, 2)$: $\,8 + 4 = 12$ ✓ i $\,8 \cdot 4 = 32$ ✓. $(2, 3)$: simètric ✓.

\boxed{\;(x, y) \in \{(3, 2),\ (2, 3)\}.\;}