Inici / Docència / Mat. Aplicades CCSS 1r BTL / Nombres reals / 12 · Ús dels logaritmes
1r BTL CCSS · Nombres reals Apunts 5 oct 2026

12. Ús dels logaritmes

On surten els logaritmes fora de l'aula: l'escala de Richter, els decibels i els gràfics borsaris, cadascun amb un gràfic interactiu.

Per què logaritmes

Hi ha magnituds que van d'allò molt petit a allò enorme: l'amplitud d'un terratrèmol, la intensitat d'un so o el preu d'una acció al llarg de dècades. Si les escrivim tal qual, els nombres tenen massa zeros per comparar-los d'un cop d'ull.

La idea comuna

En comptes del valor, es dona el seu logaritme. Així, multiplicar el valor per $10$ és sumar $1$ a l'escala:

$$\log(10 \cdot x) \overset{(1)}{=} \log 10 + \log x = 1 + \log x$$

És la propietat (1) de l'apartat 10: els productes es tornen sumes.

A classe en vam veure tres exemples: l'escala de Richter, la intensitat sonora en decibels i els gràfics borsaris.

1. L'escala de Richter

El 1935, el sismòleg Charles Richter va proposar mesurar els terratrèmols a partir de l'amplitud màxima $A$ de les ones que dibuixa el sismògraf, comparada amb una amplitud de referència $A_0$ molt petita:

Magnitud

$$M = \log \frac{A}{A_0} \overset{(2)}{=} \log A - \log A_0$$

Cada punt de magnitud més vol dir una amplitud $10$ vegades més gran. I l'energia alliberada creix encara més de pressa: es multiplica per $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ per cada punt, de manera que $2$ punts més són $1\,000$ vegades més energia.

Exemple: Turquia (2023) i Lorca (2011)

El terratrèmol de Turquia i Síria va ser de magnitud $7{,}8$ i el de Lorca, de $5{,}1$. Si restem les dues magnituds:

$$7{,}8 - 5{,}1 = \log \frac{A_T}{A_0} - \log \frac{A_L}{A_0} \overset{(2)}{=} \log \frac{A_T}{A_L} \;\Longrightarrow\; \frac{A_T}{A_L} = 10^{2{,}7} \approx 501$$

L'amplitud va ser unes $500$ vegades més gran. I l'energia, $10^{1{,}5 \cdot 2{,}7} = 10^{4{,}05} \approx 11\,200$ vegades més.

Interactiu: compara terratrèmols

Avui els sismòlegs fan servir la magnitud de moment ($M_w$), que també és logarítmica i està ajustada perquè doni valors semblants als de Richter. Les magnituds del gràfic són aquestes; els mitjans hi continuen dient «escala de Richter».

2. La intensitat sonora: els decibels

L'orella humana sent des de sons d'una intensitat de $10^{-12}\ \text{W/m}^2$ fins a sons un bilió de vegades més intensos. A més, no ho percep de manera proporcional: un so deu vegades més intens no ens sembla deu vegades més fort. Per això el nivell sonor es mesura en decibels (dB), amb un logaritme:

Nivell d'intensitat sonora

$$\beta = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0} \qquad I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^2 \;\text{(llindar d'audició)}$$

Sumar $10$ dB vol dir multiplicar la intensitat per $10$. I sumar $20$ dB, multiplicar-la per $100$.

Exemple: una conversa

Una conversa normal fa uns $60$ dB. Quina intensitat té?

$$60 = 10 \log \frac{I}{10^{-12}} \;\Longrightarrow\; \log \frac{I}{10^{-12}} = 6 \;\Longrightarrow\; \frac{I}{10^{-12}} = 10^{6} \;\Longrightarrow\; I = 10^{-6}\ \text{W/m}^2$$

Interactiu: de decibels a intensitat

Els valors dels sons de referència són aproximats. A partir d'uns $85$ dB, una exposició de moltes hores pot fer malbé l'oïda.

Exemple: dues fonts iguals

Si a una moto de $\beta$ dB s'hi afegeix una altra d'igual, la intensitat es duplica. Pel que fa als decibels:

$$10 \log \frac{2I}{I_0} \overset{(1)}{=} 10 \log 2 + 10 \log \frac{I}{I_0} \approx 10 \cdot 0{,}301 + \beta \approx \beta + 3$$

Dues motos no fan el doble de decibels: només en sumen $3$. Aquí torna a sortir el $\log 2 \approx 0{,}301$ dels deures.

Interactiu: quantes fonts iguals?

La corba és la gràfica d'un logaritme, $\beta_n = \beta + 10 \log n$: puja de pressa al principi i cada cop més a poc a poc. Per guanyar $10$ dB calen $10$ fonts; per guanyar-ne $20$, $100$.

3. Els gràfics borsaris: l'escala logarítmica

Quan un gràfic de borsa abasta moltes dècades, l'eix vertical sovint és logarítmic: les marques no van de $100$ en $100$, sinó $100$, $1\,000$, $10\,000$… Cada salt multiplica per $10$.

Què canvia l'escala logarítmica

A l'eix logarítmic, la mateixa distància vertical vol dir el mateix percentatge. Pujar de $10$ a $20$ ocupa el mateix que pujar de $100$ a $200$, perquè totes dues pujades són d'un $100\,\%$:

$$\log 20 - \log 10 \overset{(2)}{=} \log \frac{20}{10} = \log 2 = \log \frac{200}{100} = \log 200 - \log 100$$

I una inversió que creix sempre el mateix percentatge $r$ cada any dibuixa una recta:

$$P(t) = P_0 (1 + r)^{t} \;\Longrightarrow\; \log P(t) \overset{(1),(3)}{=} \log P_0 + t \cdot \log(1 + r)$$

que és una funció de primer grau en $t$, amb pendent $\log(1 + r)$.

Interactiu: escala lineal o logarítmica

Dues inversions fictícies de $100$ € durant $40$ anys. L'A creix el mateix percentatge cada any; la B creix la mateixa quantitat cada any, triada perquè acabin igual.

Inversió A (percentatge fix)Inversió B (quantitat fixa)

A escala lineal, l'A sembla que no fa res durant anys i al final s'enlaira. A escala logarítmica es veu el que passa de debò: creix sempre al mateix ritme (és una recta). En canvi, la B, que de percentatge creix cada cop menys, s'aplana.

Exemple: quan es duplica una inversió?

Si una inversió creix un $7\,\%$ anual, quants anys triga a duplicar-se? És una equació exponencial, com la de l'apartat 10:

$$1{,}07^{t} = 2 \;\Longrightarrow\; t \cdot \log 1{,}07 = \log 2 \;\Longrightarrow\; t = \frac{\log 2}{\log 1{,}07} \approx \frac{0{,}301}{0{,}0294} \approx 10{,}2 \text{ anys}$$

Prova-ho

1Richter

Un terratrèmol és de magnitud $6$ i un altre, de magnitud $4$. Quantes vegades és més gran l'amplitud del primer? I l'energia?

  Veure la solució

La diferència de magnituds és $2$:

$$\frac{A_1}{A_2} = 10^{6 - 4} = 10^{2} = 100 \qquad \frac{E_1}{E_2} = 10^{1{,}5 \cdot 2} = 10^{3} = 1\,000$$
2Decibels

Una moto fa $90$ dB. Quants decibels fan $10$ motos iguals?

  Veure la solució
$$10 \log \frac{10\,I}{I_0} \overset{(1)}{=} 10 \log 10 + 10 \log \frac{I}{I_0} = 10 + 90 = 100 \text{ dB}$$
3Decibels

Quantes vegades és més intens un so de $85$ dB que un de $65$ dB?

  Veure la solució
$$85 - 65 = 10 \log \frac{I_1}{I_0} - 10 \log \frac{I_2}{I_0} \overset{(2)}{=} 10 \log \frac{I_1}{I_2} \;\Longrightarrow\; \log \frac{I_1}{I_2} = 2 \;\Longrightarrow\; \frac{I_1}{I_2} = 100$$
4Borsa

Una acció passa de $20$ € a $80$ € en $6$ anys, pujant cada any el mateix percentatge. Quin percentatge anual és?

  Veure la solució
$$20(1 + r)^{6} = 80 \;\Longrightarrow\; (1 + r)^{6} = 4 \;\Longrightarrow\; 6 \log(1 + r) = \log 4$$
$$\log(1 + r) = \frac{\log 4}{6} = \frac{2 \log 2}{6} \approx \frac{0{,}602}{6} \approx 0{,}1003 \;\Longrightarrow\; 1 + r = 10^{0{,}1003} \approx 1{,}26$$

Puja aproximadament un $26\,\%$ cada any. A l'escala logarítmica, aquesta acció dibuixaria una recta.