Deures per al dijous 1 d'octubre
Cada apartat té la solució plegada. Fes l'exercici a la llibreta i, quan el tinguis, clica a sobre de l'enunciat per desplegar la solució i comprovar-lo.
Les propietats són a l'apartat 10.
Propietats dels logaritmes
1
Calcula una aproximació dels logaritmes següents
Fes servir que $\log 2 \approx 0{,}301$.
a) $\log 16$
$$\log 16 = \log 2^{4} = 4\log 2 \approx 4 \cdot 0{,}301 = 1{,}204$$
b) $\log \dfrac{1}{4}$
$$\log \frac{1}{4} = \log \frac{1}{2^{2}} = \log 2^{-2} = -2\log 2 \approx -2 \cdot 0{,}301 = -0{,}602$$
c) $\log \sqrt[3]{32}$
$$\log \sqrt[3]{32} = \log 2^{\frac{5}{3}} = \frac{5}{3}\log 2 \approx \frac{5}{3} \cdot 0{,}301 \approx 0{,}502$$
d) $\log \sqrt[4]{0{,}2}$
$0{,}2 = \frac{2}{10}$, i el $\log 10 = 1$ el sabem:
$$\log \sqrt[4]{\tfrac{2}{10}} = \log \left(\tfrac{2}{10}\right)^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}\log \frac{2}{10} = \frac{1}{4}(\log 2 - \log 10)$$
$$\approx \frac{1}{4}(0{,}301 - 1) = \frac{-0{,}699}{4} \approx -0{,}175$$
e) $\log \sqrt[5]{\dfrac{1}{2}}$
$$\log \sqrt[5]{2^{-1}} = \log 2^{-\frac{1}{5}} = -\frac{1}{5}\log 2$$
$$\approx -\frac{1}{5} \cdot 0{,}301 \approx -0{,}0602$$
f) $\log 400$
$$\log 400 = \log(2^{2} \cdot 10^{2}) = \log 2^{2} + \log 10^{2} = 2\log 2 + 2\log 10$$
$$\approx 2 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 1 = 0{,}602 + 2 = 2{,}602$$
2
Expressa amb un únic logaritme les expressions següents
a) $5\log_{2} A + 3\log_{2} B$
$$\log_{2} A^{5} + \log_{2} B^{3} = \log_{2}\left(A^{5} B^{3}\right)$$
b) $\dfrac{1}{2}\ln A + 2\ln B - 3\ln C$
$$\ln A^{\frac{1}{2}} + \ln B^{2} - \ln C^{3} = \ln \frac{A^{\frac{1}{2}} B^{2}}{C^{3}} = \ln \frac{\sqrt{A}\, B^{2}}{C^{3}}$$
c) $\dfrac{1}{2}\log A - \dfrac{3}{2}\log B$
$$\log A^{\frac{1}{2}} - \log B^{\frac{3}{2}} = \log \frac{A^{\frac{1}{2}}}{B^{\frac{3}{2}}} = \log \sqrt{\frac{A}{B^{3}}}$$
3
Troba el valor de la incògnita
Troba el valor de $x$ aplicant les propietats dels logaritmes.
a) $\log_{5} x + \log_{5} 3 = \log_{5} 15$
$$\log_{5} 3x = \log_{5} 15 \;\Longrightarrow\; 3x = 15 \;\Longrightarrow\; x = 5$$
Si els dos logaritmes tenen la mateixa base i són iguals, els arguments també ho són.
b) $\log x + 2\log 2 = 2\log 3 + \log 12$
$$\log x + \log 2^{2} = \log 3^{2} + \log 12$$
$$\log 4x = \log 108 \;\Longrightarrow\; 4x = 108 \;\Longrightarrow\; x = \frac{108}{4} = 27$$