Com fer-los servir
Cada apartat té la solució plegada. Fes l'exercici a la llibreta i, quan el tinguis, clica a sobre de l'enunciat per desplegar la solució i comprovar-lo.
Les propietats de potències i radicals són a l'apartat 5.
Radicals
1
Completa la taula següent
| Radical | $\sqrt[3]{2}$ | $\square$ | $\square$ | $\sqrt{x}$ | $\square$ | $\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}$ |
| Potència | $\square$ | $25^{\frac{3}{4}}$ | $3^{-\frac{1}{5}}$ | $\square$ | $16^{\frac{3}{4}}$ | $\square$ |
Veure la solució
L'exponent de la potència és una fracció: el numerador és l'exponent de dins i el denominador, l'índex.
$$\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}} \qquad \sqrt[4]{25^{3}} = 25^{\frac{3}{4}} \qquad \sqrt[5]{3^{-1}} = \sqrt[5]{\tfrac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{5}}$$
$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[4]{16^{3}} = 16^{\frac{3}{4}} = 8 \qquad \frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\tfrac{1}{3}} = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$$
2
Simplifica traient de l'arrel tots els factors possibles
a) $\sqrt{8}$
$$\sqrt{8} = \sqrt{2^{3}} = 2\sqrt{2}$$
b) $\sqrt[3]{16}$
$$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^{4}} = 2\sqrt[3]{2}$$
c) $\sqrt[5]{2^{11}}$
$$\sqrt[5]{2^{11}} = 2^{2}\sqrt[5]{2}$$
$11 = 2 \cdot 5 + 1$: surten dos $2$ i en queda un a dins.
d) $\sqrt[10]{x^{14}}$
$$\sqrt[10]{x^{14}} = x\sqrt[10]{x^{4}} = x\sqrt[5]{x^{2}}$$
Al final es simplifica l'índex: es divideixen l'índex i l'exponent per $2$.
e) $\sqrt[3]{x^{25}}$
$$\sqrt[3]{x^{25}} = x^{8}\sqrt[3]{x}$$
f) $\sqrt[3]{x^{15}}$
$$\sqrt[3]{x^{15}} = x^{5}$$
3
Simplifica les expressions següents
a) $\sqrt{a^{3} \cdot 27}$
$$\sqrt{a^{3} \cdot 27} = \sqrt{a^{2} \cdot a \cdot 3^{2} \cdot 3} = 3a\sqrt{3a}$$
b) $\sqrt[3]{648}$
$$\sqrt[3]{648} = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 3^{4}} = 2 \cdot 3\sqrt[3]{3} = 6\sqrt[3]{3}$$
c) $\sqrt[3]{3^{6} \cdot 2^{11}}$
$$\sqrt[3]{3^{6} \cdot 2^{11}} = 3^{2} \cdot 2^{3}\sqrt[3]{2^{2}} = 72\sqrt[3]{4}$$
d) $\sqrt[5]{-64x^{6}}$
$$\sqrt[5]{-64x^{6}} = \sqrt[5]{-2^{6}x^{6}} = -2x\sqrt[5]{2x}$$
L'índex és senar, així que el signe menys pot sortir de l'arrel.
e) $\sqrt[3]{\dfrac{81}{x^{5}}}$
$$\sqrt[3]{\frac{81}{x^{5}}} = \sqrt[3]{\frac{3^{4}}{x^{5}}} = \frac{3}{x}\sqrt[3]{\frac{3}{x^{2}}}$$
f) $\sqrt[5]{\dfrac{1}{64}}$
$$\sqrt[5]{\frac{1}{64}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^{6}}} = \frac{1}{2}\sqrt[5]{\frac{1}{2}}$$
4
Redueix els radicals següents a un índex comú
a) $\sqrt[6]{a^{3}},\ \sqrt[3]{a^{2}},\ \sqrt{a^{3}}$
Índex comú: $\text{mcm}(6,3,2) = 6$.
$$\sqrt[6]{a^{3}},\quad \sqrt[6]{a^{4}},\quad \sqrt[6]{a^{9}}$$
b) $\sqrt{a},\ \sqrt[3]{a},\ \sqrt[5]{a}$
Índex comú: $\text{mcm}(2,3,5) = 30$.
$$\sqrt[30]{a^{15}},\quad \sqrt[30]{a^{10}},\quad \sqrt[30]{a^{6}}$$
c) $\sqrt[5]{a},\ \sqrt{b^{5}},\ \sqrt{c^{3}}$
Índex comú: $\text{mcm}(5,2,2) = 10$.
$$\sqrt[10]{a^{2}},\quad \sqrt[10]{b^{25}},\quad \sqrt[10]{c^{15}}$$
d) $\sqrt{8},\ \sqrt[10]{2},\ \sqrt[5]{16}$
Índex comú: $\text{mcm}(2,10,5) = 10$.
$$\sqrt[10]{8^{5}} = \sqrt[10]{2^{15}},\quad \sqrt[10]{2},\quad \sqrt[10]{16^{2}} = \sqrt[10]{2^{8}}$$
Operacions amb radicals
1
Fes les operacions i simplifica
a) $\sqrt[3]{3^{8}} \cdot \sqrt[3]{3^{-5}}$
$$\sqrt[3]{3^{8}} \cdot \sqrt[3]{3^{-5}} = \sqrt[3]{3^{8-5}} = \sqrt[3]{3^{3}} = 3$$
b) $\sqrt{6} \cdot \sqrt{2^{5}} \cdot \sqrt{24}$
$$\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 2^{5} \cdot 2^{3} \cdot 3} = \sqrt{2^{9} \cdot 3^{2}} = 2^{4} \cdot 3\sqrt{2} = 48\sqrt{2}$$
c) $\sqrt[3]{x^{5}} \cdot \sqrt[3]{(2x)^{3}} \cdot \sqrt[3]{2x^{4}}$
$$\sqrt[3]{x^{5} \cdot 2^{3}x^{3} \cdot 2x^{4}} = \sqrt[3]{2^{4} \cdot x^{12}} = 2x^{4}\sqrt[3]{2}$$
d) $\dfrac{\sqrt[5]{64}}{\sqrt[5]{2^{-4}}}$
$$\sqrt[5]{\frac{2^{6}}{2^{-4}}} = \sqrt[5]{2^{10}} = 2^{2} = 4$$
e) $\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{48}}$
$$\sqrt{\frac{75}{48}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 5^{2}}{3 \cdot 2^{4}}} = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{4}}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}$$
f) $\sqrt[3]{2^{5}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}}$
Amb potències:
$$2^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2$$
O amb radicals:
$$\sqrt[3]{2^{5}} \cdot \sqrt[3]{2^{-2}} = \sqrt[3]{2^{3}} = 2$$
2
Calcula i simplifica
a) $\sqrt{8} + \sqrt{18} - \sqrt{32}$
$$\sqrt{2^{3}} + \sqrt{2 \cdot 3^{2}} - \sqrt{2^{5}} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$$
b) $3\sqrt{75} - 5\sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{27}$
$$3\sqrt{3 \cdot 5^{2}} - 5\sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{3} + \sqrt{3^{3}}$$
$$= 15\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$
c) $3\sqrt{32x^{3}} + \sqrt{50x} - \sqrt{200x^{3}} - 2\sqrt{8x}$
$$3\sqrt{2^{5}x^{3}} + \sqrt{2 \cdot 5^{2}x} - \sqrt{2^{3} \cdot 5^{2}x^{3}} - 2\sqrt{2^{3}x}$$
$$= 12x\sqrt{2x} + 5\sqrt{2x} - 10x\sqrt{2x} - 4\sqrt{2x}$$
$$= 2x\sqrt{2x} + \sqrt{2x} = (2x + 1)\sqrt{2x}$$
Només se sumen els radicals semblants: mateix índex i mateix radicand, aquí $\sqrt{2x}$.
d) $\sqrt[3]{\dfrac{16}{375}} + \sqrt{\dfrac{100x}{3}} + \sqrt[3]{\dfrac{128}{81}} + \sqrt{\dfrac{4x}{27}}$
$$\sqrt[3]{\frac{2^{4}}{3 \cdot 5^{3}}} + \sqrt{\frac{2^{2} \cdot 5^{2}\, x}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2^{7}}{3^{4}}} + \sqrt{\frac{2^{2}x}{3^{3}}}$$
$$= \frac{2}{5}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + 10\sqrt{\frac{x}{3}} + \frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{x}{3}}$$
$$= \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{3}\right)\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \left(10 + \frac{2}{3}\right)\sqrt{\frac{x}{3}} = \frac{26}{15}\sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \frac{32}{3}\sqrt{\frac{x}{3}}$$