Potències
Definició
Si $a$ és un nombre real, anomenat base, i $n$ és un nombre enter, anomenat exponent, es defineix
amb $a \in \mathbb{R}$ i $n \in \mathbb{Z}$.
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Producte de potències de la mateixa base | $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n+m}$ | $(-2)^{2} \cdot (-2)^{3} = (-2)^{5} = -32$ |
| Quocient de potències de la mateixa base | $\dfrac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ | $\dfrac{2^{8}}{2^{3}} = 2^{5} = 32$ |
| Potència d'una altra potència | $(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}$ | $\left[\left(\tfrac{2}{3}\right)^{5}\right]^{2} = \left(\tfrac{2}{3}\right)^{10}$ |
| Potència d'un producte | $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$ | $(2x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8x^{3}$ |
| Potència d'un quocient | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ | $\left(\dfrac{x}{2y}\right)^{5} = \dfrac{x^{5}}{2^{5} y^{5}}$ |
| Exponent negatiu | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ | $(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^{3}} = -\dfrac{1}{8}$ |
| Exponent fraccionari | $a^{p/q} = \sqrt[q]{a^{p}}$ | $3^{5/2} = \sqrt{3^{5}}$ |
| Exponent nul | $a^{0} = 1$ | $(-2xc)^{0} = 1$ |
| $(-a)^{n} \neq -a^{n}$ | $(-a)^{n} = \begin{cases} a^{n} & \text{si } n \text{ és parell} \\ -a^{n} & \text{si } n \text{ és senar}\end{cases}$ | $(-2)^{2} = 4$ $(-2)^{3} = -8$ |
La que sempre cau
El signe menys només entra a la potència si està dins del parèntesi:
Exponent negatiu i fraccions
Un exponent negatiu gira la fracció:
Amb un nombre enter surt el mateix, perquè $5 = \dfrac{5}{1}$:
Radicals
Definició
L'arrel d'índex $n$ (arrel enèsima) de $A$ és el nombre $B$ que compleix $B^{n} = A$:
$A$ és el radicand, $n$ és l'índex de l'arrel, i l'expressió completa $\sqrt[n]{A}$ s'anomena radical.
A la taula següent, $a$ i $b$ són positius. Sense aquesta condició les propietats del producte i del quocient deixen de valer.
| Propietat | Expressió | Exemple |
|---|---|---|
| Producte d'arrels del mateix índex | $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ | $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{27} = 3$ |
| Quocient d'arrels del mateix índex | $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ | $\dfrac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{8} = 2$ |
| Potència d'arrels | $\left(\sqrt[n]{a}\right)^{p} = \sqrt[n]{a^{p}}$ | $\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2} = \sqrt[3]{x^{2}}$ |
| Arrel d'una altra arrel | $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ | $\sqrt[3]{\sqrt{x}} = \sqrt[6]{x}$ |
| Arrel d'un producte | $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ | $\sqrt[3]{x^{2} y} = \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[3]{y}$ |
| Arrel d'un quocient | $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ | $\sqrt[3]{\dfrac{xb}{z}} = \dfrac{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{z}}$ |
| Simplificació del radicand amb $p = n \cdot c + r$ | $\sqrt[n]{a^{p}} = a^{c} \cdot \sqrt[n]{a^{r}}$ | $\sqrt[3]{x^{14}} = \sqrt[3]{x^{12+2}} = x^{4} \cdot \sqrt[3]{x^{2}}$ |
| Simplificació de l'índex | $\sqrt[k \cdot n]{a^{k \cdot p}} = \sqrt[n]{a^{p}}$ | $\sqrt[12]{b^{8}} = \sqrt[3]{b^{2}}$ |
| Introducció de factors al radicand | $a^{p} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{b \cdot a^{n \cdot p}}$ | $m^{7} \cdot \sqrt[4]{m^{3}} = \sqrt[4]{(m^{7})^{4} \cdot m^{3}} = \sqrt[4]{m^{31}}$ |
| Modificació de l'índex | $\sqrt[n]{a^{p}} = \sqrt[n \cdot k]{a^{p \cdot k}}$ | $\sqrt[3]{x} = \sqrt[30]{x^{10}}$ |
| Suma d'arrels del mateix índex | $\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a + b}$ | $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} \neq \sqrt[3]{2}$ |
Per què cal que siguin positius
La propietat del producte surt de l'exponent fraccionari:
Si la fem servir amb negatius i índex parell, en surt un disbarat: $\sqrt{6}$ no és $\sqrt{-2} \cdot \sqrt{-3}$, perquè $\sqrt{-2}$ i $\sqrt{-3}$ no existeixen a $\mathbb{R}$.
Exemples
Amb índex senar sí que es pot fer l'arrel d'un negatiu, i el signe menys surt a fora.
Plantejats a classe, resolts
El primer demana la modificació de l'índex: els índexs són diferents, $3$ i $4$, i es passen tots dos a $12$, el mínim comú múltiple.
El segon és la potència d'un producte llegida al revés: els exponents coincideixen, i per tant les bases es multipliquen.