6. Racionalització · Nombres reals

Què és racionalitzar

Definició

Racionalitzar és un conveni que fa expressar els nombres irracionals sense arrels en el denominador.

Es multiplica i es divideix per la mateixa expressió: la fracció no canvia de valor, perquè és com multiplicar per $1$, però l'arrel del denominador desapareix.

Farem racionalització de 3 tipus de nombres.

Tipus 1: una arrel quadrada

Com es fa

Es multiplica i es divideix per la mateixa arrel del denominador:

\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

Exemple

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

Tipus 2: una arrel d'índex $n$

Com es fa

Es multiplica i es divideix per l'arrel que completa l'exponent:

\frac{c}{\sqrt[n]{a^{m}}} \cdot \frac{\sqrt[n]{a^{p}}}{\sqrt[n]{a^{p}}} \qquad \text{amb } m + p = n \text{ o un múltiple de } n

Així el denominador queda $\sqrt[n]{a^{m+p}}$, i l'arrel surt exacta.

Exemples

Com que $3 + 4 = 7$, es multiplica per $\sqrt[7]{2^{4}}$:

\frac{5}{\sqrt[7]{2^{3}}} = \frac{5}{\sqrt[7]{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt[7]{2^{4}}}{\sqrt[7]{2^{4}}} = \frac{5\sqrt[7]{2^{4}}}{2}

Aquí $4 + 2 = 6$, que és múltiple de $3$, i $\sqrt[3]{5^{6}} = 5^{2}$. Al numerador, per ajuntar les dues arrels, es passen totes dues a índex $6$:

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{5^{4}}} \cdot \frac{\sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{6}}} = \frac{\sqrt[6]{2^{3}} \cdot \sqrt[6]{5^{4}}}{5^{2}} = \frac{\sqrt[6]{2^{3} \cdot 5^{4}}}{25}

Amb exponent negatiu funciona igual: $-1 + 5 = 4$.

\frac{3}{\sqrt[4]{2^{-1}}} \cdot \frac{\sqrt[4]{2^{5}}}{\sqrt[4]{2^{5}}} = \frac{3\sqrt[4]{2^{5}}}{2}

Aquest últim encara es pot simplificar: $\sqrt[4]{2^{5}} = 2\sqrt[4]{2}$, i queda $3\sqrt[4]{2}$.

Tipus 3: un binomi amb arrels

Com es fa

Multipliquem i dividim pel conjugat del denominador, que és el mateix binomi amb el signe del mig canviat:

\sqrt{a} + \sqrt{b} \;\longleftrightarrow\; \sqrt{a} - \sqrt{b}

\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c\,(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}

Per què funciona

Un binomi pel seu conjugat és una suma per diferència, i dona la diferència de quadrats:

(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^{2} - (\sqrt{b})^{2} = a - b

Fet a mà, els dos termes del mig s'anul·len:

\begin{array}{rrr} & \sqrt{a} & +\,\sqrt{b} \\ \times & \sqrt{a} & -\,\sqrt{b} \\ \hline & -\sqrt{ab} & -\,b \\ a & +\sqrt{ab} & \\ \hline a & & -\,b \end{array}

Exemple

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2 - 3} = \frac{2 + \sqrt{6}}{-1} = -2 - \sqrt{6}