Problema 8 · L'urna amb boles blaves
Probabilitat amb reposició i una equació de segon grau.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUna urna conté una bola negra, quatre boles blanques i algunes boles blaves (més d'una). S'extreu una bola a l'atzar d'aquesta urna, s'anota el seu color i es torna a l'urna. A continuació, s'extreu una altra bola a l'atzar d'aquesta urna. Per a quin nombre de boles blaves la probabilitat que les dues boles extretes tinguin el mateix color és igual a $1/2$?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: amb reposició, les dues extraccions són independents: $P(\text{mateix color}) = \sum P(\text{color})^{2}$.
Amb $b$ boles blaves hi ha $b + 5$ boles en total:
$$P = \frac{1^{2} + 4^{2} + b^{2}}{(b+5)^{2}} = \frac{b^{2} + 17}{(b+5)^{2}} = \frac{1}{2}.$$
Multipliquem en creu i simplifiquem:
$$2b^{2} + 34 = b^{2} + 10b + 25 \;\Longrightarrow\; b^{2} - 10b + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; b = 1 \ \text{o}\ b = 9.$$
Com que l'enunciat diu que hi ha més d'una bola blava, $b = 9$.
Resposta: 9