Problema 7 · El tren que arriba tard
Mobilitat: el retard per quilòmetre a velocitat reduïda és constant.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEl servei del tren es va interrompre a causa d'un accident després de recórrer 30 km. La velocitat es va reduir a quatre cinquenes parts de la velocitat original. Això va provocar un retard de 45 minuts. Si l'accident s'hagués produït 18 km més enllà, hauria arribat 36 minuts tard. Quina era la velocitat original en km/h?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: el retard només es genera al tram recorregut a velocitat reduïda. Cada quilòmetre a $\tfrac{4}{5}v$ costa $\tfrac{5}{4v}$ hores en lloc de $\tfrac{1}{v}$: un extra de $\tfrac{1}{4v}$ h/km.
Si $D$ és la distància total, el tram afectat fa $D - 30$ km (i $D - 48$ en el segon escenari):
$$\frac{D-30}{4v} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}, \qquad \frac{D-48}{4v} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}.$$
Restant les dues equacions:
$$\frac{18}{4v} = \frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{3}{20} \;\Longrightarrow\; 4v = 120 \;\Longrightarrow\; v = 30\ \text{km/h}.$$
(De passada, $D = 120$ km.)
Resposta: 30