Problema 5 · El valor de x⁶ sense nombres complexos
Multiplicar per $(x+1)$ i descobrir que $x^{3} = -1$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximSi $x^{2} - x + 1 = 0$, quant val $x^{6}$? (Observació: aquesta equació no té solució real, però podeu trobar el valor de $x^{6}$ sense cap coneixement de nombres complexos).
Copa Cangur · SCM
Fàcil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: $x^{2} - x + 1$ és justament el factor que apareix a la suma de cubs: $(x+1)(x^{2}-x+1) = x^{3} + 1$.
Multipliquem l'equació per $(x+1)$:
$$(x+1)(x^{2} - x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3} + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3} = -1.$$
Per tant:
$$x^{6} = \left(x^{3}\right)^{2} = (-1)^{2} = 1.$$
Resposta: 1