Problema 2 · El triple quadrat perfecte
$n + 2n = 3n$ quadrat obliga $n = 3k^{2}$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuants nombres enters de dues xifres compleixen que la suma d'ell mateix i el seu doble és un quadrat perfecte?
Copa Cangur · SCM
Fàcil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: la suma és $n + 2n = 3n$. Si $3n$ és un quadrat, el factor $3$ hi ha d'aparèixer dues vegades: $n$ ha de ser $3$ per un quadrat.
Escrivim $n = 3k^{2}$ (aleshores $3n = 9k^{2} = (3k)^{2}$ ✓). Amb $10 \le n \le 99$:
$$k=2: n=12, \quad k=3: n=27, \quad k=4: n=48, \quad k=5: n=75.$$
Comprovació: $36 = 6^{2}$, $81 = 9^{2}$, $144 = 12^{2}$, $225 = 15^{2}$ ✓. Quatre nombres.
Resposta: 4