Problema 12 · Pintar les cares d'un cub
Coloracions mòdul rotacions: $6$, $30$ i $6!/24 = 30$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximLa Mònica té sis colors per pintar les cares d'un cub. De quantes maneres ho pot fer si:
- Totes les cares són del mateix color?
- Cinc cares són del mateix color, i una cara és d'un color diferent de les altres?
- Totes les cares són de colors diferents?
Dues maneres de pintar les cares es consideren diferents si una no es pot obtenir de l'altra per rotació del cub. Com a resposta doneu el producte de les tres solucions dels tres apartats.
Solució raonada
Idea clau: el grup de rotacions del cub té $24$ elements; en cada apartat mirem què queda realment diferent.
a) Només cal triar el color: $6$ maneres.
b) Triem el color majoritari ($6$) i el de la cara diferent ($5$): la posició de la cara diferent és irrellevant, perquè qualsevol cara es pot dur a qualsevol altra per rotació. Total: $6 \cdot 5 = 30$.
c) Hi ha $6! = 720$ assignacions de colors a cares, i cap rotació (tret de la identitat) fixa una coloració amb sis colors diferents: cada classe té exactament $24$ representants. Total: $720 / 24 = 30$.