Problema 8 · L'equació exponencial
Factor comú $19^{t-1}$: l'exponent ha de ser zero.
Resposta entera de 4 xifres com a màximMultipliqueu les solucions d'aquesta equació. Si el resultat és negatiu, doneu la resposta en valor absolut.
$$19^{x^2+4x-21} - 19^{x^2+4x-22} = \frac{54}{57}$$
Copa Cangur · SCM
Difícil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: simplifiquem la fracció i traiem factor comú la potència petita.
D'una banda $\tfrac{54}{57} = \tfrac{18}{19}$. De l'altra, amb $t = x^2 + 4x - 21$:
$$19^{t} - 19^{t-1} = 19^{t-1}(19 - 1) = 18 \cdot 19^{t-1}.$$
$$18 \cdot 19^{t-1} = \frac{18}{19} \;\Longrightarrow\; 19^{t-1} = 19^{-1} \;\Longrightarrow\; t = 0.$$
Per tant $x^2 + 4x - 21 = 0$, és a dir $(x+7)(x-3) = 0$: solucions $x = -7$ i $x = 3$. El producte és $-21$ i, en valor absolut, $21$. (Per Vieta, el producte és directament el terme independent, $-21$.)
Resposta: 21