Problema 9 · Taulers 3×3 de zeros i uns
Per files i columnes iguals: tot zeros, tot uns i matrius de permutació.
Resposta entera de 4 xifres com a màximDe quantes maneres es pot omplir un tauler de $3 \times 3$ amb els dígits 0 i 1 de manera que la suma de cada fila i de cada columna sigui la mateixa?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: si cada fila suma $s$, el total és $3s$; i si cada columna també suma $s$, surt el mateix total. Cal analitzar $s = 0, 1, 2, 3$.
$s = 0$: tot zeros, $1$ manera. $s = 3$: tot uns, $1$ manera.
$s = 1$: exactament un $1$ a cada fila i a cada columna — són les matrius de permutació de mida $3$: $3! = 6$ maneres.
$s = 2$: exactament un $0$ a cada fila i columna — els complements de les anteriors: $6$ maneres més.
$$1 + 6 + 6 + 1 = 14.$$
Resposta: 14