Problema 7 · L'àrea del triangle DBE
Raons d'àrees: un terç per la base i la meitat pel punt mitjà.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEn el triangle següent, $D$ és un punt que compleix $AD = 2 \cdot CD$, i $E$ és el punt mitjà entre $B$ i $C$. Si l'àrea del triangle $ABC$ és de 546 cm², quina és la del triangle $DBE$?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: quan dos triangles comparteixen una altura, la raó de les seves àrees és la raó de les bases.
$D$ és al costat $AC$ amb $AD = 2\,CD$, de manera que $CD = \tfrac{1}{3}\,AC$. Els triangles $DBC$ i $ABC$ comparteixen l'altura des de $B$ sobre la recta $AC$:
$$[DBC] = \frac{CD}{AC}\,[ABC] = \frac{546}{3} = 182\ \text{cm}^{2}.$$
Ara, $E$ és el punt mitjà de $CB$: els triangles $DBE$ i $DBC$ comparteixen l'altura des de $D$ sobre la recta $CB$, i $BE = \tfrac{1}{2}\,BC$:
$$[DBE] = \frac{1}{2}\,[DBC] = \frac{182}{2} = 91\ \text{cm}^{2}.$$
Resposta: 91