Problema 8 · La resta amb xifres invertides
$\overline{abcd} - \overline{dcba} = 999(a-d) + 90(b-c)$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuina és la diferència més gran que podem obtenir si restem un nombre de quatre xifres, en què totes les xifres són diferents, menys el nombre que resulta d'invertir l'ordre de les xifres, que també ha de ser un nombre de quatre xifres?
Copa Cangur · SCM
Difícil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: escrivim la resta en funció de les xifres i optimitzem cada terme per separat.
$$\overline{abcd} - \overline{dcba} = 999(a - d) + 90(b - c).$$
El terme dominant demana $a - d$ màxim. Com que el nombre invertit ha de tenir quatre xifres, $d \ne 0$: el millor és $a = 9$, $d = 1$. Després maximitzem $b - c$ amb xifres diferents de $9$ i $1$: $b = 8$, $c = 0$.
$$999 \cdot 8 + 90 \cdot 8 = 7992 + 720 = 8712. \qquad (9801 - 1089 = 8712.)$$
Resposta: 8712