Problema 7 · Uns i zeros divisibles per 792
$792 = 8 \cdot 9 \cdot 11$: tres criteris de divisibilitat alhora.
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuantes xifres té el nombre més petit que es pot formar amb uns i zeros i que és divisible per 792?
Solució raonada
Idea clau: $792 = 8 \cdot 9 \cdot 11$, i les tres condicions es tradueixen sobre les xifres.
Divisible per $8$: les tres últimes xifres han de formar un múltiple de $8$ fet d'uns i zeros: només $000$. Divisible per $9$: la suma de xifres (el nombre d'uns) ha de ser múltiple de $9$. Divisible per $11$: (uns en posició senar) $-$ (uns en posició parella) $\equiv 0 \pmod{11}$; com que aquesta diferència té la mateixa paritat que el total d'uns, amb $9$ uns és impossible ($9$ és senar i la diferència hauria de ser $0$ o $\pm 11$). Calen, doncs, $18$ uns.
Amb $18$ uns seguits i $000$ al final tot es compleix ($9$ uns a cada paritat):