Problema 6 · Fusions de personatges
L'invariant $v + 2b$ no canvia mai: el final està forçat.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEn un videojoc hi ha 95 personatges vermells i 19 personatges blaus. Aquests personatges es poden fusionar entre ells de la manera següent:
- Si es fusionen dos personatges vermells, es transformen en un de blau.
- Si es fusionen dos personatges blaus, es transformen en quatre de vermells.
- Si es fusionen un personatge de cada color, es transformen en tres personatges vermells.
Si al final de la partida hi queden en total 100 personatges, com a mínim quants d'aquests personatges poden ser blaus? I com a màxim? (Doneu com a resposta la suma del màxim i el mínim.)
Copa Cangur · SCM
Difícil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: busquem una quantitat que cap fusió no canviï: $v + 2b$ funciona.
Vermells+vermells: $v$ baixa $2$, $b$ puja $1$: $\Delta = -2+2 = 0$. Blaus+blaus: $b$ baixa $2$, $v$ puja $4$: $\Delta = 4-4 = 0$. Mixta: $v$ puja $2$ net, $b$ baixa $1$: $\Delta = 2-2 = 0$.
$$v + 2b = 95 + 2 \cdot 19 = 133 \quad \text{sempre}.$$
Al final, $v + b = 100$ i $v + 2b = 133$: restant, $b = 33$ forçosament. Mínim $=$ màxim $= 33$.
$$33 + 33 = 66.$$
Resposta: 66