Problema 13 · El semicercle dels tres segments
Dos punts de l'arc i el centre desconegut: dues equacions de circumferència.
Resposta entera de 4 xifres com a màximAl semicercle d'aquesta figura hi hem traçat uns segments. Si $\overline{AB} = 7$ cm, $\overline{CD} = 6$ cm i $\overline{DE} = 5$ cm, quant val l'àrea del semicercle? La solució és un múltiple de $\pi$: doneu com a resposta aquest nombre sense $\pi$ (si la solució és $40\pi$, responeu $40$; si surt decimal, arrodoniu a l'enter més proper).
Solució raonada
Idea clau: posem coordenades amb el diàmetre a l'eix $x$: $B$ i $D$ són a l'arc i les seves altures i abscisses es llegeixen de la figura.
Sigui $A = (t, 0)$. Llavors $B = (t, 7)$ (perquè $AB \perp$ diàmetre), $C = (t, 5)$ i $D = (t+6, 5)$ (perquè $CD$ és horitzontal amb $DE = 5$ vertical). Amb centre $O = (c, 0)$ i radi $r$:
Restant: $\bigl(2(t-c)+6\bigr) \cdot 6 = 24$, és a dir $t - c = -1$, i per tant $r^2 = 1 + 49 = 50$.