Reto 1: el mural del Àgora · Retos matemáticos

El enunciado

Hoy a mi equipo de trabajo le ha surgido un reto nuevo que nos hace mucha ilusión: la asociación del casal del barrio nos ha pedido si podemos hacer un mural en la pared del nuevo centro de día para personas mayores. La encargada nos ha hecho llegar el diseño del mural y nos ha pedido que le digamos la cantidad de pintura de cada tipo que necesitamos. El presupuesto no es muy elevado, por eso nos pide la máxima exactitud.

La verdad es que necesitamos ayuda.

Toca un color o un número rojo para ver qué pieza o qué arista es.

El diseño que nos ha pasado la encargada. Los números en rojo son las aristas de la pregunta 1.

Notas

La escala que han pensado es que $1$ cm del dibujo corresponde a $75$ cm del tamaño real.
La pared real mide $6$ m de largo por $5$ m de alto.
El dibujo tiene que quedar completamente centrado.
Cada bote de pintura en espray contiene $200$ ml de pintura y sirve para pintar unos $1{,}5\ \text{m}^2$. Cada bote lila cuesta $4{,}58$ €, cada bote rosa cuesta $4{,}00$ €, cada bote azul celeste cuesta $4{,}25$ € y cada bote azul oscuro cuesta $4{,}40$ €.
Las letras no hace falta contabilizarlas: tenemos pintura negra.

Indicaciones. Queremos hacer los cálculos matemáticos completos, usando las operaciones combinadas y aritméticas adecuadas. Si salen decimales, los redondeamos a dos cifras decimales. Es importante que se entienda lo que estamos haciendo.

Qué conceptos necesitaremos

Todo esto parece complicado, así que nos hemos hecho un esquema para ir viendo los pasos que daremos. Tendremos que repasar el teorema de Pitágoras, la semejanza, algunas áreas y quizá los porcentajes. Iremos viendo qué pasa; al final rellenaremos la tabla para verlo más claro.

Sobre el redondeo. Todos los resultados están redondeados a dos cifras decimales, y cada paso usa el resultado redondeado del anterior, como piden las indicaciones. Si se calcula sin redondear hasta el final, algunos valores cambian en la segunda cifra decimal: por ejemplo, el lila sale $2{,}99\ \text{m}^2$ en lugar de $3{,}01\ \text{m}^2$.

1. Las aristas que faltan

Calcula todas las aristas que faltan en el diseño. Las medidas del diseño que nos ha pasado la encargada no son reales: hay que hacer cálculos matemáticos.

Ver la solución

Arista 1

Es el lado del cuadrado de la izquierda, que ya viene dado. También es el diámetro de los dos semicírculos y la altura del rectángulo de abajo a la derecha.

Arista 1: $2$ cm

Arista 3

El vértice de arriba del triángulo azul oscuro está en el punto medio del lado de arriba del cuadrado, que lo parte en dos mitades:

\dfrac{2}{2} = 1 \text{ cm}

Arista 3: $1$ cm

Arista 2

Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $2$ cm (la altura del cuadrado) y $1$ cm (la arista 3). Pitágoras:

x^2 = 2^2 + 1^2 = 5 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \text{ cm}

Arista 2: $2{,}24$ cm

Arista 4

Es la diagonal del rectángulo de la derecha, hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $1{,}5$ cm y $2$ cm:

y^2 = 1{,}5^2 + 2^2 = 2{,}25 + 4 = 6{,}25 \;\Longrightarrow\; y = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5 \text{ cm}

Arista 4: $2{,}5$ cm

Arista 5

Es la anchura de la columna de la derecha, que ya viene dada.

Arista 5: $1{,}5$ cm

Arista 6

La columna de la derecha mide $4{,}5$ cm de alto y el rectángulo de debajo mide $2$:

4{,}5 - 2 = 2{,}5 \text{ cm}

Arista 6: $2{,}5$ cm

2. Las medidas reales

Para aclararnos, pasa las medidas del dibujo a medidas reales y haz un esbozo.

Ver la solución

Cada centímetro del dibujo son $75$ cm de la pared: multiplicamos cada arista por $75$ y pasamos a metros.

Arista	Dibujo (cm)	Cálculo	Real
1	$2$	$2 \cdot 75 = 150 \text{ cm}$	$1{,}5 \text{ m}$
2	$2{,}24$	$2{,}24 \cdot 75 = 168 \text{ cm}$	$1{,}68 \text{ m}$
3	$1$	$1 \cdot 75 = 75 \text{ cm}$	$0{,}75 \text{ m}$
4	$2{,}5$	$2{,}5 \cdot 75 = 187{,}5 \text{ cm}$	$1{,}88 \text{ m}$
5	$1{,}5$	$1{,}5 \cdot 75 = 112{,}5 \text{ cm}$	$1{,}13 \text{ m}$
6	$2{,}5$	$2{,}5 \cdot 75 = 187{,}5 \text{ cm}$	$1{,}88 \text{ m}$

Esbozo del mural con las medidas reales.

El radio de los semicírculos es la mitad de la arista 1: $0{,}75$ m.

3. Los metros cuadrados de cada color

Calcula las superficies para saber los metros cuadrados de cada color.

Ver la solución

Rosa

En el cuadrado de la izquierda, las dos puntas rosas suman la mitad del cuadrado de $1{,}5$ m de lado. En el rectángulo de la derecha hay un triángulo rectángulo de catetos $1{,}5$ m y $1{,}13$ m.

1{,}5 \cdot 0{,}75 + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}13}{2} \approx 1{,}97 \text{ m}^2

1{,}97 \text{ m}^2

Lila

Un semicírculo de radio $0{,}75$ m y el rectángulo de arriba, de $1{,}13$ m por $1{,}88$ m.

\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + 1{,}13 \cdot 1{,}88 \approx 3{,}01 \text{ m}^2

3{,}01 \text{ m}^2

Azul oscuro

El triángulo del cuadrado de la izquierda: base $1{,}5$ m y altura $1{,}5$ m.

\dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}5}{2} \approx 1{,}13 \text{ m}^2

1{,}13 \text{ m}^2

Azul celeste

El otro semicírculo, de radio $0{,}75$ m, y el triángulo de debajo de la diagonal, de catetos $1{,}5$ m y $1{,}13$ m.

\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}13}{2} \approx 1{,}73 \text{ m}^2

1{,}73 \text{ m}^2

Redondeando solo el resultado final. Si se calcula con las medidas sin redondear ($1{,}125$ y $1{,}875$ m) y solo se redondea al final:

\text{Rosa: }1{,}5 \cdot 0{,}75 + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}125}{2} = 1{,}96875 \approx 1{,}97 \text{ m}^2

\text{Lila: }\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + 1{,}125 \cdot 1{,}875 = 2{,}9929\ldots \approx 2{,}99 \text{ m}^2

\text{Azul oscuro: }\dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}5}{2} = 1{,}125 \approx 1{,}13 \text{ m}^2

\text{Azul celeste: }\dfrac{\pi \cdot 0{,}75^2}{2} + \dfrac{1{,}5 \cdot 1{,}125}{2} = 1{,}7273\ldots \approx 1{,}73 \text{ m}^2

Solo cambia el lila.

4. Centrar el mural en la pared

Calcula exactamente con qué medidas centraremos el diseño en la pared. Recuerda que tiene que estar completamente centrado.

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Margen horizontal

El dibujo mide $2 + 2 + 1{,}5 = 5{,}5$ cm de ancho. Con el factor de conversión de la escala:

5{,}5 \text{ cm} \cdot \dfrac{75 \text{ cm}}{1 \text{ cm}} = 412{,}5 \text{ cm} \approx 4{,}13 \text{ m}

La pared mide $6$ m: lo que sobra se reparte a ambos lados.

\dfrac{6 - 4{,}13}{2} \approx 0{,}94 \text{ m}

$0{,}94$ m de margen a la izquierda y a la derecha

Margen vertical

El dibujo mide $4{,}5$ cm de alto:

4{,}5 \text{ cm} \cdot \dfrac{75 \text{ cm}}{1 \text{ cm}} = 337{,}5 \text{ cm} \approx 3{,}38 \text{ m}

\dfrac{5 - 3{,}38}{2} = 0{,}81 \text{ m}

$0{,}81$ m de margen arriba y abajo

El mural centrado en la pared de 6 m × 5 m.

5. Los botes de pintura

Ahora que ya sabes los metros cuadrados, pide con exactitud los botes de pintura que necesitamos. Indica todos los cálculos con operaciones combinadas que se entiendan: cuando se trata de dinero, la encargada lo quiere tener claro.

Ver la solución

Cada bote pinta $1{,}5\ \text{m}^2$. Usamos este dato como factor de conversión y redondeamos siempre hacia arriba: un trozo de bote no se puede comprar, y si falta, el mural se queda a medias.

Rosa

1{,}97 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ bote}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 1{,}31 \text{ botes}

2 botes

Lila

3{,}01 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ bote}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 2{,}01 \text{ botes}

3 botes

Azul oscuro

1{,}13 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ bote}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 0{,}75 \text{ botes}

1 bote

Azul celeste

1{,}73 \text{ m}^2 \cdot \dfrac{1 \text{ bote}}{1{,}5 \text{ m}^2} \approx 1{,}15 \text{ botes}

2 botes

Con el lila se ve por qué importa el redondeo. Con $3{,}01\ \text{m}^2$ salen $2{,}01$ botes, y con dos no basta por poco que sea. Redondeando solo al final salen $2{,}99\ \text{m}^2$ y $1{,}995\ldots$ botes: con dos bastaría, pero muy justo.

Coste total

Con los precios de la nota 4, en una sola operación combinada:

2 \cdot 4{,}00 + 3 \cdot 4{,}58 + 1 \cdot 4{,}40 + 2 \cdot 4{,}25 = 8{,}00 + 13{,}74 + 4{,}40 + 8{,}50 = 34{,}64 \text{ euros}

$34{,}64$ € en pintura

Redondeando solo el resultado final. Con las áreas sin redondear, el lila sale $2{,}9929\ldots / 1{,}5 = 1{,}995\ldots$ botes: con dos botes basta, por muy poco. El resto de colores no cambia.

2 \cdot 4{,}00 + 2 \cdot 4{,}58 + 1 \cdot 4{,}40 + 2 \cdot 4{,}25 = 30{,}06 \text{ euros}

6. Porcentaje de cada color

Nos ha surgido una duda: ¿qué porcentaje de cada color hay respecto a la superficie total de la pared?

Ver la solución

La pared mide $5 \cdot 6 = 30\ \text{m}^2$. Dividimos el área de cada color entre el área total y multiplicamos por $100$.

Color	Cálculo	%
Rosa	$\dfrac{1{,}97}{30} \cdot 100$	$6{,}57\ \%$
Lila	$\dfrac{3{,}01}{30} \cdot 100$	$10{,}03\ \%$
Azul oscuro	$\dfrac{1{,}13}{30} \cdot 100$	$3{,}77\ \%$
Azul celeste	$\dfrac{1{,}73}{30} \cdot 100$	$5{,}77\ \%$

Redondeando solo el resultado final. Con las áreas sin redondear:

Color	Cálculo	%
Rosa	$\dfrac{1{,}96875}{30} \cdot 100$	$6{,}56\ \%$
Lila	$\dfrac{2{,}9929\ldots}{30} \cdot 100$	$9{,}98\ \%$
Azul oscuro	$\dfrac{1{,}125}{30} \cdot 100$	$3{,}75\ \%$
Azul celeste	$\dfrac{1{,}7273\ldots}{30} \cdot 100$	$5{,}76\ \%$

7. Los conceptos de cada pregunta

Especifica qué conceptos matemáticos has usado en cada pregunta.

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Pregunta	Concepto
1	Pitágoras, figuras planas
2	Escalas, semejanza
3	Áreas de figuras planas
4	Aritmética
5	Factores de conversión
6	Porcentajes