Inicio / Docencia / 2n ESO / Fracciones / 04 · Operaciones
2n ESO · Fracciones Apuntes 15 sep 2025

4. Operaciones con fracciones

Suma, resta, multiplicación, división, operaciones combinadas y potencias de fracciones.

Suma y resta

Regla

Solo se pueden sumar y/o restar fracciones que tienen el mismo denominador. Si no lo tienen, hay que conseguirlo.

Procedimiento cuando los denominadores son distintos

  1. Calcular el MCM de todos los denominadores.
  2. Amplificar todas las fracciones para que tengan ese denominador común.
  3. Sumar y/o restar los numeradores. El denominador no cambia.
  4. Si se puede, simplificar el resultado.

Ejemplo.

$$\dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{10} \;=\; \dfrac{75}{20} - \dfrac{12}{20} + \dfrac{2}{20} \;=\; \dfrac{65}{20} \;=\; \dfrac{13}{4}$$

$\text{MCM}(4, 5, 10) = 20$. Amplificamos cada una a denominador $20$, sumamos/restamos numeradores y simplificamos dividiendo entre $5$.

Multiplicación

Regla

La multiplicación se hace en línea: numerador por numerador, denominador por denominador. No hace falta denominador común.

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Ejemplo sencillo.

$$\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{14}$$
Antes de multiplicar, es útil simplificar en cruz: si un numerador y un denominador (de cualquier fracción) tienen un divisor común, se pueden dividir directamente. Así evitamos trabajar con números gigantes.

Ejemplo con simplificación previa.

$$\dfrac{50}{16} \cdot \dfrac{28}{98} \cdot \dfrac{8}{125} \cdot \dfrac{10}{14} = \dfrac{2}{49}$$

Descomponiendo en factores primos (los $5$, $2$ y $7$ se cancelan entre numeradores y denominadores), llegamos directamente a $\dfrac{2}{49}$ sin multiplicar los cuatro numeradores.

División

Regla

Para dividir fracciones, se multiplica en cruz. O, lo que es lo mismo, se multiplica por la fracción inversa de la segunda.

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \;=\; \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \;=\; \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Una fracción dentro de otra (fracción compuesta) es lo mismo que una división:

$$\dfrac{\;\dfrac{a}{b}\;}{\;\dfrac{c}{d}\;} \;=\; \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \;=\; \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Ejemplo.

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} \;=\; \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} \;=\; \dfrac{15}{8}$$

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

  1. Preparar: simplificar lo que se pueda y, si un número no tiene denominador, ponerle $1$ (por ejemplo $12 = \dfrac{12}{1}$).
  2. Paréntesis y corchetes, de dentro hacia fuera.
  3. Potencias y raíces.
  4. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
  5. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Ejemplo. Calculamos:

$$\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{11}{20} - \dfrac{12}{30}\right) \;-\; \dfrac{7}{8} : \left(\dfrac{4}{3} + 12\right) \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Paso 1 — Simplificamos dentro de los paréntesis

$\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ y $12 = \dfrac{12}{1} = \dfrac{36}{3}$:

$$= \dfrac{5}{6}\left(\dfrac{11}{20} - \dfrac{8}{20}\right) - \dfrac{7}{8} : \left(\dfrac{4}{3} + \dfrac{36}{3}\right) - \dfrac{1}{5}$$

Paso 2 — Resolvemos los paréntesis

$$= \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{20} \;-\; \dfrac{7}{8} : \dfrac{40}{3} \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Paso 3 — Multiplicaciones y divisiones

$$= \dfrac{15}{120} \;-\; \dfrac{21}{320} \;-\; \dfrac{1}{5} \;=\; \dfrac{1}{8} \;-\; \dfrac{21}{320} \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Paso 4 — Sumas y restas con denominador común $320$

$$= \dfrac{40}{320} - \dfrac{21}{320} - \dfrac{64}{320} \;=\; \dfrac{40 - 21 - 64}{320} \;=\; \dfrac{-45}{320} \;=\; -\dfrac{9}{64}$$

Potencias

Las propiedades de las potencias también valen para fracciones. Las resumimos por parejas (regla para números / regla para fracciones):

Misma base

Producto
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Producto (fracciones)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m+n}$$
Cociente
$$a^m : a^n = a^{m-n}$$
Cociente (fracciones)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} : \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m-n}$$

Mismo exponente

Producto
$$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$$
Producto (fracciones)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^{\!m} = \left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right)^{\!m}$$
Cociente
$$a^m : b^m = (a : b)^m$$
Cociente (fracciones)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} : \left(\dfrac{c}{d}\right)^{\!m} = \left(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}\right)^{\!m}$$

Potencia de una potencia

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \qquad\qquad \left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m}\right]^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m \cdot n}$$

Casos especiales

Exponente 0
$$a^0 = 1 \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!0} = 1$$
Exponente 1
$$a^1 = a \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!1} = \dfrac{a}{b}$$

Signo de una potencia

Cuando la base es negativa, el signo del resultado depende de la paridad del exponente:

$$(-a)^n = \begin{cases} \;\;\;a^n & \text{si } n \text{ es par} \\ -a^n & \text{si } n \text{ es impar} \end{cases}$$
No es lo mismo $(-a)^n$ que $-a^n$. En el primero, el signo está dentro de la potencia; en el segundo, solo se calcula $a^n$ y después se cambia el signo. Por ejemplo, $(-2)^2 = 4$, pero $-2^2 = -4$.