1. Inequacions de primer grau · Inequacions

Què és una inequació

Definició

Una inequació és una desigualtat entre dues expressions algebraiques. Pot fer servir un dels quatre símbols següents:

<,\quad \leq,\quad >,\quad \geq.

A diferència d'una equació (que té una llista finita de solucions), una inequació té típicament un interval de solucions — tot un tram de la recta real.

Regles per resoldre

Treballem una inequació pràcticament igual que una equació, amb dues regles que es mantenen i una que canvia:

1) Suma i resta: podem sumar o restar el mateix nombre als dos costats sense canviar res. La desigualtat es manté.

2) Multiplicar o dividir per un nombre POSITIU: la desigualtat també es manté.

3) Multiplicar o dividir per un nombre NEGATIU: la desigualtat canvia de sentit. És a dir:

< \;\longleftrightarrow\; >, \qquad \leq \;\longleftrightarrow\; \geq.

La regla clau: el canvi de signe

Aquesta és la diferència essencial entre equacions i inequacions. Cada vegada que multipliquem o dividim els dos costats per una quantitat negativa, cal girar el signe. Si es descuida, la solució surt al revés.

Truc per evitar-ho: si arribes a una situació tipus $-2x \geq 14$, en lloc de dividir per $-2$ pots passar el $-2x$ a l'altre costat (que esdevé $+2x$) i el $14$ aquí — així només dividies per nombres positius i estalvies el canvi de signe. Ho veurem a l'Exemple 2 per dues vies.

Com escriure la solució

La solució es pot expressar de tres maneres equivalents:

· Amb la desigualtat mateixa: $x < \tfrac{5}{2}$.

· Com a interval: $(-\infty, \tfrac{5}{2})$. Recordem: parèntesi $(\,)$ si l'extrem no hi entra (signes $<$ i $>$); claudàtor $[\,]$ si l'extrem hi entra (signes $\leq$ i $\geq$). $\pm\infty$ sempre va amb parèntesi.

· Sobre la recta numèrica: una semirecta amb un cercle obert ($\circ$) si l'extrem no entra, o tancat ($\bullet$) si hi entra.

Exemple 1 — Cas bàsic

$2x - 1 < 4$

Sumem $1$ als dos costats:

$$2x < 5.$$

Dividim per $2$ (positiu, així que el signe es manté):

x < \dfrac{5}{2}.

$\bigl(-\infty,\;\tfrac{5}{2}\bigr)$

Exemple 2 — Amb canvi de signe (per dues vies)

$-2x + 3 \geq 17$

VIA 1 Aïllem el $-2x$ i dividim per $-2$ (cal girar el signe):

-2x \geq 17 - 3 = 14 \;\Longrightarrow\; x \leq \dfrac{14}{-2} = -7.

El símbol passa de $\geq$ a $\leq$ perquè hem dividit per un negatiu.

VIA 2 Per evitar el canvi de signe, passem el $-2x$ al costat dret (esdevé $+2x$) i el $17$ a l'esquerra:

3 - 17 \geq 2x \;\Longrightarrow\; -14 \geq 2x \;\Longrightarrow\; -7 \geq x.

Que és el mateix que $x \leq -7$, sense haver hagut de girar el signe.

$(-\infty,\;-7]$

Exemple 3 — Amb fraccions

$\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{3x}{4} < x + 1$

Per netejar denominadors, multipliquem tot per $\,\text{m.c.m.}(2, 4, 1) = 4$:

$$2(x-1) + 3x < 4(x+1).$$

2x - 2 + 3x < 4x + 4 \;\Longrightarrow\; 5x - 2 < 4x + 4.

Restem $4x$ i sumem $2$ als dos costats:

$$x < 6.$$

$(-\infty,\;6)$

Exemple 4 AMPLIACIÓ — Inequació de 2n grau (mètode dels signes)

$x^{2} - 5x + 6 \geq 0$

Aquest exemple ja no és una inequació de primer grau, però el resolem aquí com a aperitiu per veure la idea del mètode dels signes: trobar les arrels del polinomi i estudiar quin signe pren a cada interval.

1) Trobem les arrels de l'equació associada $x^{2} - 5x + 6 = 0$. Factoritzant:

(x-2)(x-3) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2\ \text{o}\ x = 3.

2) Aquestes arrels parteixen la recta real en tres trams: $(-\infty, 2)$, $(2, 3)$ i $(3, +\infty)$. A cada tram avaluem el signe del polinomi triant un punt de prova:

\begin{array}{c|c|c|c}\text{Interval} & (-\infty,\,2) & (2,\,3) & (3,\,+\infty) \\\hline \text{Punt de prova} & x = 0 & x = 2{,}5 & x = 4 \\\hline x^{2}-5x+6 & 6 & -0{,}25 & 2 \\\hline \text{Signe} & + & - & + \end{array}

3) Volem $x^{2} - 5x + 6 \geq 0$ (positiu o zero). Pels signes de la taula, els intervals on això passa són $(-\infty, 2)$ i $(3, +\infty)$; i els punts $x=2$ i $x=3$ també hi entren perquè el polinomi val $0$ en ells (i $0 \geq 0$ ✓).

$(-\infty,\;2]\,\cup\,[3,\;+\infty)$

Equivalentment: $x \leq 2$ o $x \geq 3$.