1. Distribución binomial · Distribuciones de probabilidad

Definiciones previas

Distribución de probabilidad

Una distribución de probabilidad es la función que asigna una probabilidad a cada suceso del espacio muestral. Puede ser discreta (los valores posibles son finitos o infinitos numerables) o continua (los valores llenan un intervalo).

Variable aleatoria

Una variable aleatoria $X$ es la función que asigna un número real a cada elemento del espacio muestral. Si los valores que puede tomar son finitos o infinitos numerables, $X$ se llama discreta; si son infinitos no numerables (llenando un intervalo), se llama continua.

Ejemplos discretos: número de caras al lanzar 5 monedas, número de ases al sacar 3 cartas. Ejemplos continuos: altura de un estudiante, tiempo que dura una bombilla.

Función de probabilidad

Cuando $X$ es discreta, la función de probabilidad $f$ asigna a cada valor que puede tomar $X$ la probabilidad de obtenerlo: $f(x) = P(X = x)$.

Para que $f$ sea una función de probabilidad válida deben cumplirse dos condiciones:

0 \le f(x_i) \le 1 \quad \text{para todo } i, \qquad \sum_{i} f(x_i) = 1.

Ejemplo — Lanzar un dado

Lanzamos un dado correcto. El espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ y $X$ es la variable «cara obtenida».

f(1) = P(X{=}1) = \tfrac{1}{6}, \quad f(2) = \tfrac{1}{6}, \;\dots\; , f(6) = \tfrac{1}{6}.

La gráfica de la función de probabilidad es uniforme: 6 barras de la misma altura $\tfrac{1}{6}$.

Este caso es la llamada distribución uniforme discreta: todos los valores de $X$ tienen la misma probabilidad.

Las variables continuas también tienen distribuciones asociadas — la más conocida es la normal (la campana de Gauss) — pero en este curso nos centramos en distribuciones discretas, y en particular la binomial.

Problema de Bernoulli

Experimento de Bernoulli

Un experimento de Bernoulli es un experimento aleatorio con solo dos resultados posibles, que llamamos éxito y fracaso.

Denotamos:

p = P(\text{éxito}), \qquad q = P(\text{fracaso}) = 1 - p.

Por construcción, $p + q = 1$.

Ejemplo — Penalti

Un futbolista tiene probabilidad $0{,}7$ de marcar un penalti. Lanzar el penalti es un experimento de Bernoulli con:

p = 0{,}7, \qquad q = 1 - p = 0{,}3.

«Marcar» es el éxito y «fallar» el fracaso (la convención de qué es éxito y qué es fracaso la elegimos nosotros según la pregunta).

Distribución binomial

Definición

La distribución binomial es la distribución que sigue una variable aleatoria $X$ que cuenta el número de éxitos en $n$ repeticiones independientes de un experimento de Bernoulli con probabilidad de éxito $p$.

Se denota:

X \sim B(n, p),

donde $n$ es el número de experimentos y $p$ la probabilidad de éxito individual.

Cuándo utilizar la binomial

Un fenómeno se modela bien con $B(n,p)$ si cumple las 4 condiciones siguientes:

1. Se repite $n$ veces un mismo experimento.

2. Cada experimento solo tiene dos resultados posibles (éxito / fracaso).

3. La probabilidad de éxito $p$ es constante en cada repetición.

4. Las repeticiones son independientes entre sí.

Ejemplo — Cinco penaltis

El mismo futbolista del ejemplo anterior lanza 5 penaltis. Decimos $X = $ «número de penaltis marcados». Entonces:

X \sim B(5,\;0{,}7).

a) ¿Cuál es la probabilidad de marcar exactamente 3 penaltis?

P(X = 3) \approx 0{,}3087.

Este valor se obtiene con la fórmula que veremos en el siguiente apartado, o consultando la tabla de la binomial.

b) ¿Cuál es la probabilidad de marcar como mínimo 3 penaltis?

«Como mínimo 3» equivale a $X \ge 3$. Se puede calcular por el complementario:

P(X \ge 3) \;=\; 1 - P(X \le 2) \;=\; 1 - 0{,}16308 \;=\; \boxed{\;0{,}83692.\;}

$P(X \le 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$ — la suma de los 3 primeros valores.

Fórmula de la binomial

Función de probabilidad de $B(n,p)$

Si $X \sim B(n,p)$, la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos en $n$ pruebas es:

\boxed{\;P(X = k) \;=\; \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}\;}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots, n.

Donde $\binom{n}{k}$ es el número combinatorio (que definimos abajo) y $q = 1 - p$.

La fórmula tiene tres ingredientes:

· $\binom{n}{k}$ — de cuántas maneras se pueden colocar los $k$ éxitos entre las $n$ posiciones.

· $p^{k}$ — probabilidad de una secuencia concreta con $k$ éxitos.

· $q^{n-k}$ — probabilidad de los $n - k$ fracasos.

Aplicación al penalti — cálculo detallado

Con $X \sim B(5,\;0{,}7)$, calculamos $P(X = 3)$ aplicando la fórmula:

P(X = 3) \;=\; \binom{5}{3}\, 0{,}7^{3}\cdot 0{,}3^{2} \;=\; 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 \;=\; \boxed{\;0{,}3087.\;}

Números combinatorios

Definición

El número combinatorio «$m$ sobre $n$» es el número de subconjuntos de $n$ elementos que se pueden formar de un conjunto de $m$ elementos. Se denota y calcula:

C_{m,n} \;=\; \binom{m}{n} \;=\; \frac{m!}{n!\,(m-n)!}.

Donde $m!$ es el factorial de $m$:

m! \;=\; m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdots 2\cdot 1, \qquad 0! = 1.

Ejemplos

· $5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$.

· Calcular $C_{8,3} = \binom{8}{3}$:

\binom{8}{3} \;=\; \frac{8!}{3!\,5!} \;=\; \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{3!\,\cancel{5!}} \;=\; \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6} \;=\; 56.

· Calcular $\binom{5}{3}$ (el del penalti):

\binom{5}{3} \;=\; \frac{5!}{3!\,2!} \;=\; \frac{5\cdot 4}{2} \;=\; 10.

Truco de cálculo

Para calcular $\binom{m}{n}$ rápidamente, escribe los $n$ factores decrecientes desde $m$ en el numerador y $n!$ en el denominador:

\binom{m}{n} = \frac{m\,(m{-}1)\,(m{-}2)\cdots(m{-}n{+}1)}{n!}.

Así no hace falta calcular $m!$ entero.

En la calculadora científica se teclean como nCr (combinatorio) y ! (factorial). Verifica siempre con una calculadora los números combinatorios que te aparezcan en un examen.

Probabilidades acumuladas

Con $X \sim B(5,\;0{,}7)$ podemos calcular cualquier probabilidad acumulada. Recordemos las fórmulas anteriores:

P(X{=}0) = \tbinom{5}{0}\,0{,}7^{0}\,0{,}3^{5} = 0{,}00243,$$ $$P(X{=}1) = \tbinom{5}{1}\,0{,}7^{1}\,0{,}3^{4} = 0{,}02835,$$ $$P(X{=}2) = \tbinom{5}{2}\,0{,}7^{2}\,0{,}3^{3} = 0{,}13230,$$ $$P(X{=}3) = \tbinom{5}{3}\,0{,}7^{3}\,0{,}3^{2} = 0{,}30870,$$ $$P(X{=}4) = \tbinom{5}{4}\,0{,}7^{4}\,0{,}3^{1} = 0{,}36015,$$ $$P(X{=}5) = \tbinom{5}{5}\,0{,}7^{5}\,0{,}3^{0} = 0{,}16807.

Comprobación: la suma de todos debe dar exactamente $1$. $0{,}00243 + 0{,}02835 + 0{,}13230 + 0{,}30870 + 0{,}36015 + 0{,}16807 = 1$ ✓.

Cálculos con $X \sim B(5,\;0{,}7)$

a) $P(X < 3) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$:

P(X < 3) = 0{,}00243 + 0{,}02835 + 0{,}13230 = \boxed{\;0{,}16308.\;}

b) $P(X \ge 4) = P(X{=}4) + P(X{=}5)$:

P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = \boxed{\;0{,}52822.\;}

O bien, por el complementario: $P(X\ge 4) = 1 - P(X\le 3) = 1 - 0{,}47178 = 0{,}52822$.

c) $P(X \le 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2) = 0{,}16308$ (es lo mismo que a)).

¡Cuidado con las desigualdades!

$P(X < 3)$ no incluye el 3: es $P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$.

$P(X \le 3)$ sí incluye el 3: es $P(X{=}0) + \cdots + P(X{=}3)$.

Lee siempre el enunciado con atención para saber si la desigualdad es estricta o no.

Esperanza y desviación típica

Parámetros de una binomial

Para una variable $X \sim B(n,p)$, la esperanza matemática (media) y la varianza tienen una fórmula muy simple:

E(X) = n\cdot p, \qquad \mathrm{Var}(X) = n\cdot p\cdot q.

Y por tanto la desviación típica:

\sigma \;=\; \sqrt{\mathrm{Var}(X)} \;=\; \sqrt{n\cdot p\cdot q}.

Ejemplo — Los 5 penaltis

Con $X\sim B(5,\,0{,}7)$:

E(X) = 5 \cdot 0{,}7 = 3{,}5 \text{ penaltis marcados de media}.$$ $$\sigma = \sqrt{5\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02.

Lectura: si el futbolista lanzara series de 5 penaltis muchas veces, marcaría 3,5 penaltis de media, con una dispersión típica de aproximadamente 1 penalti alrededor de ese valor.

Interpretación intuitiva

· $E(X) = np$ — tiene sentido: si haces $n$ pruebas y en cada prueba hay probabilidad $p$ de éxito, esperas $np$ éxitos en total.

· $\mathrm{Var}(X) = npq$ — depende del producto $pq$, que es máximo cuando $p = 0{,}5$ (y es $0$ cuando $p = 0$ o $p = 1$). Es decir: la binomial es menos imprevisible cuando $p$ es muy próximo a 0 o a 1.

Ejercicios

1 Función candidata — ¿es función de probabilidad?

Considera la función $f(x) = \dfrac{2x + 1}{6}$ con $x \in \{1, 2, 3\}$.

a) Calcula $f(1)$, $f(2)$ y $f(3)$.

f(1) = \tfrac{2\cdot 1 + 1}{6} = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5.$$ $$f(2) = \tfrac{2\cdot 2 + 1}{6} = \tfrac{5}{6}.$$ $$f(3) = \tfrac{2\cdot 3 + 1}{6} = \tfrac{7}{6}.

b) ¿Puede ser $f$ una función de probabilidad? ¿Por qué?

Una función de probabilidad debe cumplir dos condiciones: $0 \le f(x_i) \le 1$ para todo $i$, y $\sum f(x_i) = 1$.

· $f(3) = \tfrac{7}{6} > 1$ → incumple la primera condición.

· Además, la suma:

f(1) + f(2) + f(3) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{6} + \tfrac{7}{6} = \tfrac{3 + 5 + 7}{6} = \tfrac{15}{6} = \tfrac{5}{2} \neq 1.

También incumple la segunda condición.

\boxed{\;f(x) = \tfrac{2x+1}{6} \text{ NO es una función de probabilidad.}\;}

2 Tabla de una variable discreta — dato desconocido

La siguiente tabla ofrece la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Se desconoce $P(X{=}3)$.

$x_i$	0	1	2	3	4	5
$P_i$	0,2	0,2	0,1	?	0,1	0,1

a) $P(X = 3)$.

Como la suma de todas las probabilidades debe ser 1:

0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}1 + P(X{=}3) + 0{,}1 + 0{,}1 = 1.$$ $$P(X{=}3) = 1 - 0{,}7 = \boxed{\;0{,}3.\;}

b) $P(X > 3)$.

P(X > 3) = P(X{=}4) + P(X{=}5) = 0{,}1 + 0{,}1 = \boxed{\;0{,}2.\;}

c) $P(X < 2)$.

P(X < 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) = 0{,}2 + 0{,}2 = \boxed{\;0{,}4.\;}

Comprobación por el complementario: $P(X < 2) = 1 - P(X\ge 2) = 1 - (0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$. ✓

d) $P(1 < X \le 5)$.

Atención: el límite inferior es estricto ($X > 1$), pero el superior incluye el 5.

P(1 < X \le 5) = P(X{=}2) + P(X{=}3) + P(X{=}4) + P(X{=}5)$$ $$= 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = \boxed{\;0{,}6.\;}

e) La media, $E(X) = \sum x_i \cdot P_i$.

E(X) = 0\cdot 0{,}2 + 1\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}1 + 3\cdot 0{,}3 + 4\cdot 0{,}1 + 5\cdot 0{,}1$$ $$= 0 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}9 + 0{,}4 + 0{,}5 = \boxed{\;2{,}2.\;}

f) La desviación típica.

Calculamos primero la varianza $\mathrm{Var}(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P_i$:

\mathrm{Var}(X) = (0{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}2 + (1{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}2 + (2{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1 + (3{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}3 + (4{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1 + (5{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1$$ $$= 4{,}84\cdot 0{,}2 + 1{,}44\cdot 0{,}2 + 0{,}04\cdot 0{,}1 + 0{,}64\cdot 0{,}3 + 3{,}24\cdot 0{,}1 + 7{,}84\cdot 0{,}1$$ $$= 0{,}968 + 0{,}288 + 0{,}004 + 0{,}192 + 0{,}324 + 0{,}784 = 2{,}56.

\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{2{,}56} = \boxed{\;1{,}6.\;}

Recordatorio: $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$ — un atajo que puede ahorrar trabajo. Aquí da $E(X^2) = 0 + 0{,}2 + 0{,}4 + 2{,}7 + 1{,}6 + 2{,}5 = 7{,}4$, así $\mathrm{Var}(X) = 7{,}4 - 2{,}2^2 = 7{,}4 - 4{,}84 = 2{,}56$. ✓

3 Aplicación directa de la fórmula

Sea $X \sim B(6,\;0{,}4)$. Calcula:

a) $P(X = 2)$.

P(X{=}2) = \binom{6}{2}\, 0{,}4^{2}\, 0{,}6^{4} = 15\cdot 0{,}16\cdot 0{,}1296 \approx \boxed{\;0{,}3110.\;}

b) $P(X = 0)$.

P(X{=}0) = \binom{6}{0}\, 0{,}4^{0}\, 0{,}6^{6} = 1\cdot 1\cdot 0{,}046656 \approx \boxed{\;0{,}0467.\;}

c) $P(X \ge 1)$ — al menos 1 éxito.

Por el complementario, más rápido:

P(X \ge 1) = 1 - P(X{=}0) = 1 - 0{,}0467 = \boxed{\;0{,}9533.\;}

d) $E(X)$ y $\sigma$.

E(X) = 6\cdot 0{,}4 = 2{,}4, \qquad \sigma = \sqrt{6\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} = \sqrt{1{,}44} = \boxed{\;1{,}2.\;}

4 Filosofía — ocho estudiantes elegidos al azar

El 80 % del alumnado de un instituto aprobó filosofía el curso pasado. De un grupo de 8 estudiantes elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que solo dos hayan suspendido esta asignatura?

a) Justifica que se trata de una distribución binomial.

Cada estudiante: aprobado o suspenso → es un experimento de Bernoulli. Repetimos el mismo experimento 8 veces (uno por cada estudiante), con probabilidad constante $p = 0{,}8$ (suponiendo independencia) → es una binomial $B(8,\,0{,}8)$.

b) Identifica la probabilidad de éxito y fracaso.

Si el éxito es «aprobar»: $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$.

Pero la pregunta es sobre el número de suspensos; conviene cambiar el éxito:

Si el éxito es «suspender»: $p = 0{,}2$, $q = 0{,}8$.

c) Determina la función de probabilidad.

Tenemos dos formulaciones equivalentes:

· $X_1 = $ «número de aprobados» $\sim B(8,\,0{,}8)$.

· $X_2 = $ «número de suspensos» $\sim B(8,\,0{,}2)$.

Si dos alumnos suspenden, aprueban seis. Por tanto, $X_2 = 2$ equivale a $X_1 = 6$. Trabajaremos con $X_2$, que refleja directamente la pregunta.

P(X_2 = k) = \binom{8}{k}\, 0{,}2^{k}\, 0{,}8^{\,8-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 8.

d) Calcula $P(\text{solo dos suspendan})$.

P(X_2 = 2) = \binom{8}{2}\, 0{,}2^{2}\, 0{,}8^{6} = 28\cdot 0{,}04\cdot 0{,}262144 \approx \boxed{\;0{,}2936.\;}

Comprobación: $P(X_1 = 6) = \binom{8}{6}\, 0{,}8^{6}\, 0{,}2^{2} = 28\cdot 0{,}262144\cdot 0{,}04 \approx 0{,}2936$. ✓ Coincide, como habíamos dicho.

5 Línea de producción — piezas defectuosas

Una línea de producción fabrica piezas con una probabilidad del 5 % de que cada una sea defectuosa. Se eligen 10 piezas al azar y se revisan.

a) Identifica la distribución y sus parámetros.

Sea $X = $ «número de piezas defectuosas». Entonces $X \sim B(10,\,0{,}05)$.

b) $P(\text{ninguna defectuosa})$.

P(X{=}0) = \binom{10}{0}\, 0{,}05^{0}\, 0{,}95^{10} = 0{,}95^{10} \approx \boxed{\;0{,}5987.\;}

Casi el 60% de los lotes de 10 piezas no tienen ninguna pieza defectuosa.

c) $P(\text{exactamente 2 defectuosas})$.

P(X{=}2) = \binom{10}{2}\, 0{,}05^{2}\, 0{,}95^{8} = 45\cdot 0{,}0025\cdot 0{,}6634 \approx \boxed{\;0{,}0746.\;}

d) $P(\text{al menos 1 defectuosa})$.

Por el complementario:

P(X \ge 1) = 1 - P(X{=}0) = 1 - 0{,}5987 = \boxed{\;0{,}4013.\;}

e) $E(X)$ y $\sigma$.

E(X) = 10\cdot 0{,}05 = 0{,}5,\qquad \sigma = \sqrt{10\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95} = \sqrt{0{,}475} \approx \boxed{\;0{,}689.\;}

De media hay media pieza defectuosa por lote de 10. La desviación típica es mayor que la media — es normal cuando $p$ es pequeña.

6 Test multiopción contestando al azar

Un test tiene 20 preguntas con 4 opciones cada una y una sola correcta. Un alumno responde al azar, sin haber estudiado.

a) Identifica la distribución y sus parámetros.

Sea $X = $ «número de respuestas correctas». En cada pregunta, $p = \tfrac{1}{4} = 0{,}25$ (acertar al azar) y $q = 0{,}75$. Por tanto $X \sim B(20,\,0{,}25)$.

b) ¿Cuántas respuestas acertará de media?

E(X) = 20\cdot 0{,}25 = \boxed{\;5 \text{ aciertos.}\;}

c) ¿Cuál es la desviación típica?

\sigma = \sqrt{20\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75} = \sqrt{3{,}75} \approx \boxed{\;1{,}936.\;}

d) $P(X = 10)$ — acierta exactamente 10 (la mitad).

P(X{=}10) = \binom{20}{10}\, 0{,}25^{10}\, 0{,}75^{10}.$$ $$\binom{20}{10} = 184\,756, \qquad 0{,}25^{10}\approx 9{,}54\cdot 10^{-7}, \qquad 0{,}75^{10}\approx 0{,}0563.$$ $$P(X{=}10) \approx 184\,756\cdot 9{,}54\cdot 10^{-7}\cdot 0{,}0563 \approx \boxed{\;0{,}0099.\;}

Menos del 1%: la probabilidad de acertar la mitad de las preguntas por puro azar es prácticamente despreciable — de ahí viene la sensación de que «si respondo todo a suerte, seguro que suspendo».