Problema 6 · Fusiones de personajes
El invariante $v + 2b$ no cambia nunca: el final está forzado.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn un videojuego hay 95 personajes rojos y 19 azules. Estos personajes pueden fusionarse entre ellos de la manera siguiente:
- Si se fusionan dos personajes rojos, se transforman en uno azul.
- Si se fusionan dos azules, se transforman en cuatro rojos.
- Si se fusionan uno de cada color, se transforman en tres rojos.
Si al final de la partida quedan en total 100 personajes, ¿como mínimo cuántos pueden ser azules? ¿Y como máximo? (Da como respuesta la suma del máximo y el mínimo.)
Copa Cangur · SCM
Difícil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: buscamos una cantidad que ninguna fusión cambie: $r + 2a$ funciona.
Rojos+rojos: $r$ baja $2$, $a$ sube $1$: $\Delta = -2+2 = 0$. Azules+azules: $a$ baja $2$, $r$ sube $4$: $\Delta = 4-4 = 0$. Mixta: $r$ sube $2$ neto, $a$ baja $1$: $\Delta = 2-2 = 0$.
$$r + 2a = 95 + 2 \cdot 19 = 133 \quad \text{siempre}.$$
Al final, $r + a = 100$ y $r + 2a = 133$: restando, $a = 33$ forzosamente. Mínimo $=$ máximo $= 33$.
$$33 + 33 = 66.$$
Respuesta: 66