Problema 13 · El semicírculo de los tres segmentos
Dos puntos del arco y el centro desconocido: dos ecuaciones de circunferencia.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn el semicírculo de esta figura hemos trazado unos segmentos. Si $\overline{AB} = 7$ cm, $\overline{CD} = 6$ cm y $\overline{DE} = 5$ cm, ¿cuánto vale el área del semicírculo? La solución es un múltiplo de $\pi$: da como respuesta ese número sin $\pi$ (si la solución es $40\pi$, responde $40$; si sale decimal, redondea al entero más próximo).
Solución razonada
Idea clave: ponemos coordenadas con el diámetro en el eje $x$: $B$ y $D$ están en el arco y sus alturas y abscisas se leen de la figura.
Sea $A = (t, 0)$. Entonces $B = (t, 7)$ (porque $AB \perp$ diámetro), $C = (t, 5)$ y $D = (t+6, 5)$ (porque $CD$ es horizontal con $DE = 5$ vertical). Con centro $O = (c, 0)$ y radio $r$:
Restando: $\bigl(2(t-c)+6\bigr) \cdot 6 = 24$, es decir $t - c = -1$, y por tanto $r^2 = 1 + 49 = 50$.