1. Distribució binomial · Distribucions de probabilitat

Definicions prèvies

Distribució de probabilitat

Una distribució de probabilitat és la funció que assigna una probabilitat a cada esdeveniment de l'espai mostral. Pot ser discreta (els valors possibles són finits o infinits numerables) o contínua (els valors omplen un interval).

Variable aleatòria

Una variable aleatòria $X$ és la funció que assigna un nombre real a cada element de l'espai mostral. Si els valors que pot prendre són finits o infinits numerables, $X$ es diu discreta; si són infinits no numerables (omplint un interval), es diu contínua.

Exemples discrets: nombre de cares en llançar 5 monedes, nombre d'asos en treure 3 cartes. Exemples continus: alçada d'un estudiant, temps que dura una bombeta.

Funció de probabilitat

Quan $X$ és discreta, la funció de probabilitat $f$ assigna a cada valor que pot prendre $X$ la probabilitat d'obtenir-lo: $f(x) = P(X = x)$.

Perquè $f$ sigui una funció de probabilitat vàlida cal que es compleixin dues condicions:

0 \le f(x_i) \le 1 \quad \text{per a tot } i, \qquad \sum_{i} f(x_i) = 1.

Exemple — Llançar un dau

Llancem un dau correcte. L'espai mostral és $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $X$ és la variable «cara obtinguda».

f(1) = P(X{=}1) = \tfrac{1}{6}, \quad f(2) = \tfrac{1}{6}, \;\dots\; , f(6) = \tfrac{1}{6}.

La gràfica de la funció de probabilitat és uniforme: 6 barres de la mateixa alçada $\tfrac{1}{6}$.

Aquest cas és l'anomenada distribució uniforme discreta: tots els valors de $X$ tenen la mateixa probabilitat.

Les variables contínues també tenen distribucions associades — la més coneguda és la normal (la campana de Gauss) — però en aquest curs ens centrem en distribucions discretes, i en particular la binomial.

Problema de Bernoulli

Experiment de Bernoulli

Un experiment de Bernoulli és un experiment aleatori amb només dos resultats possibles, que anomenem èxit i fracàs.

Denotem:

p = P(\text{èxit}), \qquad q = P(\text{fracàs}) = 1 - p.

Per construcció, $p + q = 1$.

Exemple — Penal

Un futbolista té probabilitat $0{,}7$ de marcar un penal. Tirar el penal és un experiment de Bernoulli amb:

p = 0{,}7, \qquad q = 1 - p = 0{,}3.

«Marcar» és l'èxit i «fallar» el fracàs (la convenció de què és èxit i què és fracàs la triem nosaltres segons la pregunta).

Distribució binomial

Definició

La distribució binomial és la distribució que segueix una variable aleatòria $X$ que compta el nombre d'èxits en $n$ repeticions independents d'un experiment de Bernoulli amb probabilitat d'èxit $p$.

Es nota:

X \sim B(n, p),

on $n$ és el nombre d'experiments i $p$ la probabilitat d'èxit individual.

Quan utilitzar la binomial

Un fenomen es modela bé amb $B(n,p)$ si compleix les 4 condicions següents:

1. Es repeteix $n$ vegades un mateix experiment.

2. Cada experiment només té dos resultats possibles (èxit / fracàs).

3. La probabilitat d'èxit $p$ és constant en cada repetició.

4. Les repeticions són independents entre elles.

Exemple — Cinc penals

El mateix futbolista de l'exemple anterior llança 5 penals. Diem $X = $ «nombre de penals marcats». Aleshores:

X \sim B(5,\;0{,}7).

a) Quina és la probabilitat de marcar exactament 3 penals?

P(X = 3) \approx 0{,}3087.

Aquest valor es treu amb la fórmula que veurem al següent apartat, o consultant la taula de la binomial.

b) Quina és la probabilitat de marcar com a mínim 3 penals?

«Com a mínim 3» equival a $X \ge 3$. Es pot calcular pel complementari:

P(X \ge 3) \;=\; 1 - P(X \le 2) \;=\; 1 - 0{,}16308 \;=\; \boxed{\;0{,}83692.\;}

$P(X \le 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$ — la suma dels 3 primers valors.

Fórmula de la binomial

Funció de probabilitat de $B(n,p)$

Si $X \sim B(n,p)$, la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits en $n$ proves és:

\boxed{\;P(X = k) \;=\; \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}\;}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots, n.

On $\binom{n}{k}$ és el nombre combinatori (que definim a sota) i $q = 1 - p$.

La fórmula té tres ingredients:

· $\binom{n}{k}$ — de quantes maneres es poden col·locar els $k$ èxits entre les $n$ posicions.

· $p^{k}$ — probabilitat d'una seqüència concreta amb $k$ èxits.

· $q^{n-k}$ — probabilitat dels $n - k$ fracassos.

Aplicació al penal — càlcul detallat

Amb $X \sim B(5,\;0{,}7)$, calculem $P(X = 3)$ aplicant la fórmula:

P(X = 3) \;=\; \binom{5}{3}\, 0{,}7^{3}\cdot 0{,}3^{2} \;=\; 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 \;=\; \boxed{\;0{,}3087.\;}

Nombres combinatoris

Definició

El nombre combinatori «$m$ sobre $n$» és el nombre de subconjunts de $n$ elements que es poden formar d'un conjunt de $m$ elements. Es nota i es calcula:

C_{m,n} \;=\; \binom{m}{n} \;=\; \frac{m!}{n!\,(m-n)!}.

On $m!$ és el factorial de $m$:

m! \;=\; m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdots 2\cdot 1, \qquad 0! = 1.

Exemples

· $5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120$.

· Calcular $C_{8,3} = \binom{8}{3}$:

\binom{8}{3} \;=\; \frac{8!}{3!\,5!} \;=\; \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot \cancel{5!}}{3!\,\cancel{5!}} \;=\; \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6} \;=\; 56.

· Calcular $\binom{5}{3}$ (el del penal):

\binom{5}{3} \;=\; \frac{5!}{3!\,2!} \;=\; \frac{5\cdot 4}{2} \;=\; 10.

Truc de càlcul

Per calcular $\binom{m}{n}$ ràpidament, escriu els $n$ factors decreixents des de $m$ al numerador i $n!$ al denominador:

\binom{m}{n} = \frac{m\,(m{-}1)\,(m{-}2)\cdots(m{-}n{+}1)}{n!}.

Així no cal calcular $m!$ sencer.

A la calculadora científica es teclegen com nCr (combinatori) i ! (factorial). Verifica sempre amb una calculadora els nombres combinatoris que t'apareguin en un examen.

Probabilitats acumulades

Amb $X \sim B(5,\;0{,}7)$ podem calcular qualsevol probabilitat acumulada. Recordem les fórmules anteriors:

P(X{=}0) = \tbinom{5}{0}\,0{,}7^{0}\,0{,}3^{5} = 0{,}00243,$$ $$P(X{=}1) = \tbinom{5}{1}\,0{,}7^{1}\,0{,}3^{4} = 0{,}02835,$$ $$P(X{=}2) = \tbinom{5}{2}\,0{,}7^{2}\,0{,}3^{3} = 0{,}13230,$$ $$P(X{=}3) = \tbinom{5}{3}\,0{,}7^{3}\,0{,}3^{2} = 0{,}30870,$$ $$P(X{=}4) = \tbinom{5}{4}\,0{,}7^{4}\,0{,}3^{1} = 0{,}36015,$$ $$P(X{=}5) = \tbinom{5}{5}\,0{,}7^{5}\,0{,}3^{0} = 0{,}16807.

Comprovació: la suma de tots ha de donar exactament $1$. $0{,}00243 + 0{,}02835 + 0{,}13230 + 0{,}30870 + 0{,}36015 + 0{,}16807 = 1$ ✓.

Càlculs amb $X \sim B(5,\;0{,}7)$

a) $P(X < 3) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$:

P(X < 3) = 0{,}00243 + 0{,}02835 + 0{,}13230 = \boxed{\;0{,}16308.\;}

b) $P(X \ge 4) = P(X{=}4) + P(X{=}5)$:

P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = \boxed{\;0{,}52822.\;}

O bé, pel complementari: $P(X\ge 4) = 1 - P(X\le 3) = 1 - 0{,}47178 = 0{,}52822$.

c) $P(X \le 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2) = 0{,}16308$ (és el mateix que a)).

Compte amb les desigualtats!

$P(X < 3)$ no inclou el 3: és $P(X{=}0) + P(X{=}1) + P(X{=}2)$.

$P(X \le 3)$ sí que inclou el 3: és $P(X{=}0) + \cdots + P(X{=}3)$.

Llegeix sempre l'enunciat amb deteniment per saber si la desigualtat és estricta o no.

Esperança i desviació típica

Paràmetres d'una binomial

Per a una variable $X \sim B(n,p)$, l'esperança matemàtica (mitjana) i la variància tenen una fórmula molt simple:

E(X) = n\cdot p, \qquad \mathrm{Var}(X) = n\cdot p\cdot q.

I per tant la desviació típica:

\sigma \;=\; \sqrt{\mathrm{Var}(X)} \;=\; \sqrt{n\cdot p\cdot q}.

Exemple — Els 5 penals

Amb $X\sim B(5,\,0{,}7)$:

E(X) = 5 \cdot 0{,}7 = 3{,}5 \text{ penals marcats de mitjana}.$$ $$\sigma = \sqrt{5\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02.

Lectura: si el futbolista tirés sèries de 5 penals moltes vegades, marcaria 3,5 penals de mitjana, amb una dispersió típica d'aproximadament 1 penal al voltant d'aquest valor.

Interpretació intuïtiva

· $E(X) = np$ — té sentit: si fas $n$ proves i a cada prova hi ha probabilitat $p$ d'èxit, esperes $np$ èxits en total.

· $\mathrm{Var}(X) = npq$ — depèn del producte $pq$, que és màxim quan $p = 0{,}5$ (i és $0$ quan $p = 0$ o $p = 1$). És a dir: la binomial és menys imprevisible quan $p$ és molt proper a 0 o a 1.

Exercicis

1 Funció candidata — és funció de probabilitat?

Considera la funció $f(x) = \dfrac{2x + 1}{6}$ amb $x \in \{1, 2, 3\}$.

a) Calcula $f(1)$, $f(2)$ i $f(3)$.

f(1) = \tfrac{2\cdot 1 + 1}{6} = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5.$$ $$f(2) = \tfrac{2\cdot 2 + 1}{6} = \tfrac{5}{6}.$$ $$f(3) = \tfrac{2\cdot 3 + 1}{6} = \tfrac{7}{6}.

b) Pot ser $f$ una funció de probabilitat? Per què?

Una funció de probabilitat ha de complir dues condicions: $0 \le f(x_i) \le 1$ per a tot $i$, i $\sum f(x_i) = 1$.

· $f(3) = \tfrac{7}{6} > 1$ → incompleix la primera condició.

· A més, la suma:

f(1) + f(2) + f(3) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{6} + \tfrac{7}{6} = \tfrac{3 + 5 + 7}{6} = \tfrac{15}{6} = \tfrac{5}{2} \neq 1.

També incompleix la segona condició.

\boxed{\;f(x) = \tfrac{2x+1}{6} \text{ NO és una funció de probabilitat.}\;}

2 Taula d'una variable discreta — dada desconeguda

La taula següent ofereix la funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta $X$. Es desconeix $P(X{=}3)$.

$x_i$	0	1	2	3	4	5
$P_i$	0,2	0,2	0,1	?	0,1	0,1

a) $P(X = 3)$.

Com que la suma de totes les probabilitats ha de ser 1:

0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}1 + P(X{=}3) + 0{,}1 + 0{,}1 = 1.$$ $$P(X{=}3) = 1 - 0{,}7 = \boxed{\;0{,}3.\;}

b) $P(X > 3)$.

P(X > 3) = P(X{=}4) + P(X{=}5) = 0{,}1 + 0{,}1 = \boxed{\;0{,}2.\;}

c) $P(X < 2)$.

P(X < 2) = P(X{=}0) + P(X{=}1) = 0{,}2 + 0{,}2 = \boxed{\;0{,}4.\;}

Comprovació amb el complementari: $P(X < 2) = 1 - P(X\ge 2) = 1 - (0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$. ✓

d) $P(1 < X \le 5)$.

Atenció: el límit inferior és estricte ($X > 1$), però el superior inclou el 5.

P(1 < X \le 5) = P(X{=}2) + P(X{=}3) + P(X{=}4) + P(X{=}5)$$ $$= 0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}1 + 0{,}1 = \boxed{\;0{,}6.\;}

e) La mitjana, $E(X) = \sum x_i \cdot P_i$.

E(X) = 0\cdot 0{,}2 + 1\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}1 + 3\cdot 0{,}3 + 4\cdot 0{,}1 + 5\cdot 0{,}1$$ $$= 0 + 0{,}2 + 0{,}2 + 0{,}9 + 0{,}4 + 0{,}5 = \boxed{\;2{,}2.\;}

f) La desviació típica.

Calculem primer la variància $\mathrm{Var}(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P_i$:

\mathrm{Var}(X) = (0{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}2 + (1{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}2 + (2{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1 + (3{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}3 + (4{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1 + (5{-}2{,}2)^2\cdot 0{,}1$$ $$= 4{,}84\cdot 0{,}2 + 1{,}44\cdot 0{,}2 + 0{,}04\cdot 0{,}1 + 0{,}64\cdot 0{,}3 + 3{,}24\cdot 0{,}1 + 7{,}84\cdot 0{,}1$$ $$= 0{,}968 + 0{,}288 + 0{,}004 + 0{,}192 + 0{,}324 + 0{,}784 = 2{,}56.

\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{2{,}56} = \boxed{\;1{,}6.\;}

Recordatori: $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$ — una drecera que pot estalviar feina. Aquí dóna $E(X^2) = 0 + 0{,}2 + 0{,}4 + 2{,}7 + 1{,}6 + 2{,}5 = 7{,}4$, així $\mathrm{Var}(X) = 7{,}4 - 2{,}2^2 = 7{,}4 - 4{,}84 = 2{,}56$. ✓

3 Aplicació directa de la fórmula

Sigui $X \sim B(6,\;0{,}4)$. Calcula:

a) $P(X = 2)$.

P(X{=}2) = \binom{6}{2}\, 0{,}4^{2}\, 0{,}6^{4} = 15\cdot 0{,}16\cdot 0{,}1296 \approx \boxed{\;0{,}3110.\;}

b) $P(X = 0)$.

P(X{=}0) = \binom{6}{0}\, 0{,}4^{0}\, 0{,}6^{6} = 1\cdot 1\cdot 0{,}046656 \approx \boxed{\;0{,}0467.\;}

c) $P(X \ge 1)$ — almenys 1 èxit.

Pel complementari, més ràpid:

P(X \ge 1) = 1 - P(X{=}0) = 1 - 0{,}0467 = \boxed{\;0{,}9533.\;}

d) $E(X)$ i $\sigma$.

E(X) = 6\cdot 0{,}4 = 2{,}4, \qquad \sigma = \sqrt{6\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} = \sqrt{1{,}44} = \boxed{\;1{,}2.\;}

4 Filosofia — vuit estudiants triats a l'atzar

El 80 % de l'alumnat d'un institut va aprovar filosofia el curs passat. D'un grup de 8 estudiants triats a l'atzar, quina és la probabilitat que només dos hagin suspès aquesta assignatura?

a) Justifica que es tracta d'una distribució binomial.

Cada estudiant: aprovat o suspès → és un experiment de Bernoulli. Repetim el mateix experiment 8 vegades (un per cada estudiant), amb probabilitat constant $p = 0{,}8$ (suposant independència) → és una binomial $B(8,\,0{,}8)$.

b) Identifica la probabilitat d'èxit i fracàs.

Si l'èxit és «aprovar»: $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$.

Però la pregunta és sobre el nombre de suspesos; convé canviar l'èxit:

Si l'èxit és «suspendre»: $p = 0{,}2$, $q = 0{,}8$.

c) Determina la funció de probabilitat.

Tenim dues formulacions equivalents:

· $X_1 = $ «nombre d'aprovats» $\sim B(8,\,0{,}8)$.

· $X_2 = $ «nombre de suspesos» $\sim B(8,\,0{,}2)$.

Si dos alumnes suspenen, en aproven sis. Per tant, $X_2 = 2$ equival a $X_1 = 6$. Treballarem amb $X_2$, que reflecteix directament la pregunta.

P(X_2 = k) = \binom{8}{k}\, 0{,}2^{k}\, 0{,}8^{\,8-k}, \quad k = 0, 1, \dots, 8.

d) Calcula $P(\text{només dos suspenguin})$.

P(X_2 = 2) = \binom{8}{2}\, 0{,}2^{2}\, 0{,}8^{6} = 28\cdot 0{,}04\cdot 0{,}262144 \approx \boxed{\;0{,}2936.\;}

Comprovació: $P(X_1 = 6) = \binom{8}{6}\, 0{,}8^{6}\, 0{,}2^{2} = 28\cdot 0{,}262144\cdot 0{,}04 \approx 0{,}2936$. ✓ Coincideix, com havíem dit.

5 Línia de producció — peces defectuoses

Una línia de producció fabrica peces amb una probabilitat del 5 % que cadascuna sigui defectuosa. Es trien 10 peces a l'atzar i revisen.

a) Identifica la distribució i els seus paràmetres.

Sigui $X = $ «nombre de peces defectuoses». Aleshores $X \sim B(10,\,0{,}05)$.

b) $P(\text{cap defectuosa})$.

P(X{=}0) = \binom{10}{0}\, 0{,}05^{0}\, 0{,}95^{10} = 0{,}95^{10} \approx \boxed{\;0{,}5987.\;}

Gairebé el 60% dels lots de 10 peces no tenen cap peça defectuosa.

c) $P(\text{exactament 2 defectuoses})$.

P(X{=}2) = \binom{10}{2}\, 0{,}05^{2}\, 0{,}95^{8} = 45\cdot 0{,}0025\cdot 0{,}6634 \approx \boxed{\;0{,}0746.\;}

d) $P(\text{almenys 1 defectuosa})$.

Pel complementari:

P(X \ge 1) = 1 - P(X{=}0) = 1 - 0{,}5987 = \boxed{\;0{,}4013.\;}

e) $E(X)$ i $\sigma$.

E(X) = 10\cdot 0{,}05 = 0{,}5,\qquad \sigma = \sqrt{10\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95} = \sqrt{0{,}475} \approx \boxed{\;0{,}689.\;}

De mitjana hi ha mitja peça defectuosa per lot de 10. La desviació típica és més gran que la mitjana — és normal quan $p$ és petita.

6 Test multiopció responent a l'atzar

Un test té 20 preguntes amb 4 opcions cadascuna i una sola correcta. Un alumne respon a l'atzar, sense haver estudiat.

a) Identifica la distribució i els seus paràmetres.

Sigui $X = $ «nombre de respostes correctes». A cada pregunta, $p = \tfrac{1}{4} = 0{,}25$ (encertar a l'atzar) i $q = 0{,}75$. Per tant $X \sim B(20,\,0{,}25)$.

b) Quantes respostes encertarà de mitjana?

E(X) = 20\cdot 0{,}25 = \boxed{\;5 \text{ encerts.}\;}

c) Quina és la desviació típica?

\sigma = \sqrt{20\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75} = \sqrt{3{,}75} \approx \boxed{\;1{,}936.\;}

d) $P(X = 10)$ — encerta exactament 10 (la meitat).

P(X{=}10) = \binom{20}{10}\, 0{,}25^{10}\, 0{,}75^{10}.$$ $$\binom{20}{10} = 184\,756, \qquad 0{,}25^{10}\approx 9{,}54\cdot 10^{-7}, \qquad 0{,}75^{10}\approx 0{,}0563.$$ $$P(X{=}10) \approx 184\,756\cdot 9{,}54\cdot 10^{-7}\cdot 0{,}0563 \approx \boxed{\;0{,}0099.\;}

Menys d'un 1%: la probabilitat d'encertar la meitat de les preguntes al pur atzar és gairebé negligible — d'aquí ve la sensació que «si responc tot a sort, segur que suspenc».