Problema 6 · Dues àrees als costats d'un rectangle
Simetria central: $Q$ és el simètric de $P$ i les àrees surten amb base i alçada.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEn un rectangle $ABCD$, les dues diagonals es tallen al punt $E$. Dibuixem una recta que passa per $E$ i talla els costats $AB$ en $P$ i $CD$ en $Q$, de manera que $PB = 7 \cdot AP$. Si l'àrea del rectangle $ABCD$ és de 256 cm², quina és la diferència de les àrees dels triangles $PBE$ i $CQE$?
Solució raonada
Idea clau: $E$ és el centre del rectangle. Qualsevol recta per $E$ talla costats oposats en punts simètrics respecte de $E$, i tots dos triangles tenen alçada $h/2$ des de $E$.
Posem $AB = w$ i $BC = h$ (àrea $wh = 256$). Com que $PB = 7\,AP$, tenim $AP = \dfrac{w}{8}$ i $PB = \dfrac{7w}{8}$.
$Q$ és el simètric de $P$ respecte del centre, així que $CQ = AP = \dfrac{w}{8}$.
Tots dos triangles tenen el tercer vèrtex a $E$, a distància $\dfrac{h}{2}$ dels costats $AB$ i $CD$: