Problema 4 · Dos nombres de la llista de l'1 al 50
El truc de sumar 1: factoritzar $(a+1)(b+1) = 1276$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximFem una llista amb tots els nombres naturals des de l'1 fins al 50. De la llista en traiem dos nombres, de manera que el producte d'aquests dos nombres és igual a la suma dels nombres que han quedat a la llista. Quins són aquests dos nombres? (Com a resposta escriviu consecutivament els dos nombres, començant pel més petit. Per exemple, si els dos nombres són el 7 i el 83, escriviu 783).
Solució raonada
Idea clau: la suma $1 + 2 + \cdots + 50 = \dfrac{50 \cdot 51}{2} = 1275$. Si traiem $a$ i $b$, la condició és $ab = 1275 - a - b$.
Passem-ho tot a un costat i sumem $1$ per poder factoritzar:
Factoritzem: $1276 = 2^{2} \cdot 11 \cdot 29$. Necessitem dos factors entre $2$ i $51$ (perquè $1 \le a < b \le 50$). L'única descomposició vàlida és
Comprovació: $28 \cdot 43 = 1204 = 1275 - 28 - 43$ ✓. Les altres parelles de divisors ($22 \cdot 58$, $11 \cdot 116$...) tenen algun factor més gran que $51$.