Problema 1 · Dos rectangles paral·lels
La relació $AE^{2}+CG^{2} = BF^{2}+DH^{2}$ entre cantonades oposades.
Resposta entera de 4 xifres com a màxim$ABCD$ i $EFGH$ són dos rectangles que tenen els costats paral·lels. Si $AE = 15$, $BF = 27$ i $CG = 25$, quant mesura $DH$?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: posem coordenades: cada segment cantonada-cantonada té un component horitzontal i un de vertical, i les parelles oposades comparteixen components.
Amb $A=(0,0)$, $B=(W,0)$, $C=(W,H)$, $D=(0,H)$ i el rectangle interior $[x_1,x_2]\times[y_1,y_2]$:
$$AE^{2}+CG^{2} = \left(x_1^{2}+y_1^{2}\right)+\left((W-x_2)^{2}+(H-y_2)^{2}\right) = BF^{2}+DH^{2},$$
perquè $BF^{2} = (W-x_2)^{2}+y_1^{2}$ i $DH^{2} = x_1^{2}+(H-y_2)^{2}$ reparteixen exactament els mateixos quatre quadrats. Per tant:
$$DH^{2} = 15^{2} + 25^{2} - 27^{2} = 225 + 625 - 729 = 121 \;\Longrightarrow\; DH = 11.$$
Resposta: 11