Problema 8 · Múltiples de la suma de les seves xifres
Recompte sistemàtic per sumes de xifres (nombres de Harshad).
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuants nombres de dues xifres hi ha que siguin múltiples de la suma de les seves dues xifres? Per exemple, 42 és múltiple de $6 = 4 + 2$, però 14 no és múltiple de $5 = 1 + 4$.
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: escrivim $n = 10a + b$ amb suma $s = a + b$. Que $s \mid n$ equival a $s \mid n - s = 9a$: només cal que la suma de xifres divideixi $9a$.
Recorrent ordenadament (o agrupant per sumes), els que compleixen la condició són:
$$10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90.$$
(Tots els múltiples de $10$ i de $9$ de dues xifres hi són, entre d'altres.) En total, $23$ nombres.
Resposta: 23