Problema 7 · 45a amb totes les xifres iguals
Un repdigit múltiple de 45 ha d'acabar en 5 i sumar múltiple de 9.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEl nombre $a$ és un enter positiu i la suma $S = a + 2a + 3a + 4a + \dots + 9a$ és un nombre en què tots els dígits són iguals. Quin és el valor mínim que pot tenir $S$? Doneu com a resposta un nombre de dues xifres $\overline{bc}$, on $b$ és el nombre de vegades que surt la xifra repetida i $c$ la xifra que es repeteix. Per exemple, si $S = 77777$, la resposta és 57, ja que hi ha cinc sets.
Solució raonada
Idea clau: $S = (1+2+\cdots+9)\,a = 45a$: és múltiple de $45$, és a dir, de $5$ i de $9$ alhora.
Un nombre amb totes les xifres iguals a $d$: per ser múltiple de $5$, ha d'acabar en $5$ (si $d = 0$ no és positiu), així que $d = 5$. Per ser múltiple de $9$, la suma de xifres $5k$ ha de ser múltiple de $9$: com que $5$ i $9$ són coprimers, $k$ ha de ser múltiple de $9$.
El mínim és $k = 9$:
Resposta en format $\overline{bc}$: $b = 9$ cincs, $c = 5$ → $95$.